Dejar $A= \begin{pmatrix} 8&2 \\ -8&-2 \end{pmatrix}$. Busque la entrada en la primera fila y la segunda columna de$A^{2014}$

Question

He intentado diagonalizar la matriz y he obtenido:
$A=PDP^{-1}$ .
Dónde:
$P=\begin{pmatrix} 1&1 \\ -4&-1 \end{pmatrix}$
$D=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&6 \end{pmatrix}$
$P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1&-1 \\ 4&1 \end{pmatrix}$ .

Así que ese $A^{2014}=PD^{2014}P^{-1}$
Pero solo quiero saber si hay un método alternativo.

Answer 1

Pista Muestra que $$A^2=6A$ $

Nota: puede mostrar la declaración más fuerte: $$\begin{pmatrix} 8&2 \\ -8&-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b \\ -a&-b \end{pmatrix}=6\begin{pmatrix} a&b \\ -a&-b \end{pmatrix}$ $ pero esto es una exageración.

Answer 2

Por el Cayley-Hamilton, teorema de, $A^{2014}=aI+bA$ a un desconocido coeficientes de $a$ e $b$. Esta ecuación también es satisfecho por $A$'s valores propios que genera el sistema de ecuaciones $a=0$, $a+6b=6^{2014}$, a partir de que $b=6^{2013}$. La entrada requerida de $A^{2014}$ es, por tanto, $2\cdot6^{2013}$.

Nota, también, que los autovalores de a$A$ puede ser encontrado por la inspección. Sus filas, obviamente, son linealmente dependientes, entonces, uno de sus autovalores es $0$. El otro autovalor es entonces igual a $A$'s de seguimiento.

Answer 3

Como $A$ está claramente en el rango 1 (las dos columnas son múltiplos), puedes descomponerlo directamente en el producto externo de dos vectores: $$A=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}8&2\end{bmatrix}$ $

Lo que ahora le da inmediatamente $$A^{2014}=\left(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}8&2\end{bmatrix}\right)^{2014}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix}8&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right)^{2013}\begin{bmatrix}8&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}6^{2013}\begin{bmatrix}8&2\end{bmatrix}=6^{2013}A$ $