Partición de acorde del polígono regular: ¿la misma fracción de área y perímetro?

Question

Esta es una variación de una pregunta planteada por James Tanton en Twitter.

Deje $P$ regular $n$-gon, $n \ge 3$. Un acorde $c$ de $P$ es un segmento que conecta dos puntos distintos de la frontera de $P$, en los dos bordes definidos (por lo tanto no dos puntos en uno de los bordes). Un acorde de particiones tanto el perímetro y el área de $P$ en dos cero partes. Para un determinado acorde $c$, vamos a $a(c)$ e $p(c)$ ser el área más pequeña de las fracciones y menor perímetro fracciones de las partes. En otras palabras, $a(c)$ es la zona para los más pequeños lado de $c$ dividido por el área de $P$. Y lo mismo para $p(c)$.

Q. Para que $n$-ágonos ¿existen acordes $c$ y fracciones de $a(c) = p(c)$ no es igual a $\frac{1}{2}$?

Tanton la pregunta por $n=4$ (una plaza), puede $\frac{1}{3}$ lograrse? "Al mismo tiempo dividir una tercera parte de la superficie de un cuadrado y de un tercio del perímetro de la plaza?" Y la respuesta es No.

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          ^{(Imagen de Tanton.)}

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La generalización pregunta para todos aquellos que no la mitad de las fracciones alcanzable para regular $n$-ágonos. Tal vez la respuesta a P es: porque no?

Answer 1

Respuesta parcial: no es bueno acorde para la plaza (con cualquier proporción diferente de $\frac{1}{2}$).

Prueba: Supongamos que tenemos la conexión de dos puntos en lados opuestos. Entonces obtendremos un trapecio. Indicar las bases por $x,y$. A continuación, $a(c)= \frac{x+y}{2}$ e $p(c)=\frac{x+y+1}{4}$, que los rendimientos de $x+y=1$, y por lo tanto $a(c)=p(c)=\frac{1}{2}$.

Si los dos puntos están en lados adyacentes, entonces obtenemos un triángulo rectángulo. Deje $x,y$ denotar las piernas de este tiempo. A continuación, $a(c)=\frac{xy}{2}$ e $p(c)=\frac{x+y}{4}$, que los rendimientos de $(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$. Como $0\leq x,y\leq 1$, tenemos $|x-\frac{1}{2}|\leq \frac{1}{2}$ e $|y-\frac{1}{2}|\leq \frac{1}{2}$, lo $(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$ sólo es posible si $|x-\frac{1}{2}|=|y-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, el triángulo es degenerado (un punto) o $x=y=1$, en cuyo caso $a(c)=p(c)=\frac{1}{2}$ nuevo.

El hecho de que teníamos muy diferentes argumentos en los dos casos sugiere que la pregunta general puede ser difícil de manejar.