Algunos conceptos básicos más sobre la operación de grupo.

Question

Deje $G$ ser un grupo, $H \le G$ e $f \colon G \times G \rightarrow G$ el grupo de operación. Sabemos que $\complement_GH$ (el complemento de $H$ en $G$) contiene la inversa de alguno de sus elementos, por lo que, lo $G$ e $H$ , $\lbrace e \rbrace \subseteq f(\complement_GH \times \complement_GH)$.

Por otro lado, si tomamos $G=(\mathbb{Z},+)$ e $H=2 \mathbb{Z}$, obtenemos que $f(\complement_GH \times \complement_GH)=H$, porque sumando de a pares de todos los enteros impares tenemos todos los números enteros (y de ellos, solamente).

Esto me hace concluir que, en general, al menos, la siguiente se tiene: $\lbrace e \rbrace \subseteq f(\complement_GH \times \complement_GH) \cap H \subseteq H$.

Yo pregunte lo siguiente:

1. ¿cuál es la caracterización de $H$ y/o $G$ conseguir $f(\complement_GH \times \complement_GH)=\lbrace e \rbrace$, si alguna?
2. ¿cuál es la caracterización de $H$ y/o $G$ conseguir $f(\complement_GH \times \complement_GH)=H$?

(por "caracterización de $H$ y/o $G$" me refiero a algo como, por ejemplo, "$H$ normal en $G$", o similares).

Answer 1

Tenga en cuenta que usted debe comenzar con $H<G$ en lugar de $H\le G$, $H=G$ hace $f(\complement_GH \times \complement_GH)=\emptyset$.

Así que supongamos $H<G$. Si tomamos $a\in \complement_GH$, entonces para cualquier $h\in H$, tenemos $ha^{-1}\notin H$ y, por tanto, $h=ha^{-1}\cdot a\in f(\complement_GH \times \complement_GH)$. Esto hace que $$H\subseteq f(\complement_GH \times \complement_GH)\qquad \text{if }H<G. $$

En consecuencia, la situación en su primera pregunta que se produce iff $H=\{e\}$ y la situación en la segunda pregunta se produce.

Para la segunda parte, con el fin de obtener sólo $H$, en el caso de $ha^{-1}\cdot a$ hemos utilizado anteriormente debe ser "esencialmente" el único. De hecho, $$H= f(\complement_GH \times \complement_GH)\iff[G:H]=2.$$ Prueba:

• Si $H$ es de índice 2, pick $a\in G\setminus H$ tales que Entonces si $x,y\in\complement_GH$, tenemos $h_1:=xa\in H$, $h_2:=a^{-1}y\in H$ e lo $xy=xaa^{-1}y=h_1h_2\in H$.

• Por otro lado, si $f(\complement_GH \times \complement_GH)=H$, entonces ya sabemos $H\ne G$. Si $a,b\in\complement_GH$, se deduce que el $a^2\in H$ e $ab\in H$, por lo tanto $a^2H=abH$ e lo $aH=bH$, es decir, sólo hay dos cosets

De vuelta a la primera pregunta: Tenemos $f(\complement_GH \times \complement_GH)=\{e\}$ fib $G$ es de orden $2$ e $H$ el subgrupo trivial.

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Generalización: Si existe el $a,b\in\complement_GH$ con $ab\notin H$, a continuación, $f(\complement_GH \times \complement_GH)=G$. De hecho, Si $g\in G$, entonces al menos uno de $ag$, $b^{-1}g$ es $\notin H$ porque de lo contrario también se $ab=ag(b^{-1}g)^{-1}\in H$. Llegamos a la conclusión de $g=a^{-1}\cdot ag=b\cdot b^{-1}ag\in f(\complement_GH \times \complement_GH)$. Tal $a,b$ existen siempre $[G:H]>2$. Por lo tanto, $$f(\complement_GH \times \complement_GH)=\begin{cases}\emptyset&\text{if }H=G\\H&\text{if }[G:H]=2\\G&\text{otherwise}\end{cases}$$