Cálculo de$ \operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$ sobre$\mathbb{Z}$

Question

El cálculo de $ \operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$ sobre $\mathbb{Z}$:

Sólo necesito a alguien para confirmar que no se han calculado $ \operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$ correctamente. Sé que esto es fácil, el cálculo común, sin embargo no puedo encontrar ninguna respuesta real para confirmar mis resultados en contra de cualquier lugar. Lo cual es muy frustrante.

He calculado: $ \operatorname{Ext}^0(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2$, $ \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2$, e $ \operatorname{Ext}^n(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = 0$ para $n \geq 2$. Es esto correcto?

He utilizado el proyectiva resolución:

$...\rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow \mathbb{Z} = P_1 \xrightarrow {\cdot 2} \mathbb{Z} = P_0 \xrightarrow {\cdot 1} \mathbb{Z}/2$

que produjo Hom grupos:

$...\leftarrow 0 \leftarrow 0 \leftarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2) \xleftarrow {\cdot 2} \operatorname{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2) \leftarrow 0$

que es equivalente a:

$...\leftarrow 0 \leftarrow 0 \leftarrow \mathbb{Z}/2 \xleftarrow {\cdot 0} \mathbb{Z}/2 \leftarrow 0$

La homología en el 0 y 1 puntos, a continuación, $\mathbb{Z}/2$, e $0$ en otros lugares.

Answer 1

Sí, eso está bien. Otra forma de calcular Ext es la nota sólo dos posibles extensiones de $\mathbb Z/2$ , de por sí, son el trivial y $\mathbb Z/4$, hasta isomorfismo, y este es isomorfo a $\mathbb Z/2$, por supuesto. Nota, sin embargo, que si se intenta hacer lo mismo con $\mathbb Z/p$ (la misma de cálculo de works), entonces se obtiene la Ext es $\mathbb Z/p$: hay $p-1$ trivial extensiones con el mismo subyacente a medio plazo, $\mathbb Z/p^2$ que no son isomorfos. Podemos encontrarlos?