¿Existe una regla simple que determine qué conceptos son "ordinarios" frente a "duales" en la teoría de categorías?

Question

En la categoría de teoría, pullbacks son los límites de cospans, mientras que pushouts son colimits de abarca.

Mientras tanto, un functor tiene un derecho adjoint iff la izquierda Kan extensión de 1 existe y es absoluta, y viceversa.

Ingenuamente, yo esperaría que el "co" etiquetas a ser elegido de tal manera que todos nuestros límites básicos (tales como pullbacks) puede ser generado por los diagramas de que falta el "co" de la etiqueta, y viceversa; y yo esperaría que la "izquierda" etiquetas en cosas como Kan extensiones y adjoint functors a ser elegido de manera que "la izquierda" extensiones de dar lugar a la "izquierda" adjoints, y así sucesivamente. Pero, claramente, este no es el caso.

¿Qué voy a tomar de esto? Por ejemplo, cuál de los siguientes estados de los asuntos es la más cercana a la verdad?

1. El "co" de la etiqueta, y la "derecha" e "izquierda" de las etiquetas, fueron elegidos de manera miope. Un moderno estudiante, mirando a todos los de la categoría de la teoría a partir de una vista a ojo de pájaro, en principio, podrían asignar las etiquetas tales que, básicamente, todos los de la simple/natural/definiciones básicas pueden ser establecidas en una forma que trata de etiquetas como "co" o "de izquierda" en un uniforme y regular de la moda.
2. De hecho, hay una profunda regla que rige la cual las cosas que actualmente se llama "co", y cuando observamos que pullbacks son los límites de cospans y copullbacks son colimits de abarca, lo que es indicativo de una interesante paridad-flip que hay en el territorio, más que un artefacto de la incoherencia de las etiquetas en nuestro mapa.
3. No hay un profundo regla que rige la cual las cosas que llamamos "co", pero es también el caso de que simplemente no hay manera de asignar las etiquetas que el uso de "co" (o de "izquierda") es uniforme y regular. Por ejemplo, si vamos a intercambiar la "izquierda" y "derecha" etiquetas Kan extensiones, entonces la definición de adjoint functors en términos de Kan extensiones se siente más "hacia delante", pero la definición de adjoint functors en términos de Kan ascensores se convertiría en "hacia atrás". Mientras que un montón de conceptos duales, los duales en realidad no clúster bien, y sólo tenemos que recoger algunas de las etiquetas y de la picadura de algunas de las balas.

(Mi conjetura es (1), debido a la observación de que los límites de una especie de "flechas que vienen en" sabor y colimits tener una especie de "flechas saliendo" de sabor, y que si tomamos esta intuición en la cara-valor sugiere que "el cospan" es el nombre correcto (y que nuestra notación sería un poco más consistente si cambiamos el nombre de "cospan" a "cuña" y "span" a "cowedge"), pero estoy bastante incierto.)

Answer 1

La respuesta es: "4) Todas las anteriores", pero la mayoría de las cosas son "coherentes" y la aparente "incoherencias" probablemente no son accidentes, pero a veces las inconsistencias son simplemente pobres de la terminología y otras veces no lo son para evitar duendes. Directamente la respuesta que está "más cerca de la verdad", es 2, pero la "regla" no es formal, o, en la medida en que usted formalizar, no cubrir cada posible uso que puede ser que desee para la terminología. La "regla" también es no trivial y puede ser una cuestión de perspectiva.

En primer lugar, si algún concepto es el dual de algún otro concepto es a menudo no el más relevante o importante aspecto de la misma. Esta es la razón por la que hemos términos como "inicial" y "terminal" o "pushout" y "retroceso" y no "coterminales" y "terminal" o "copullback" y "retroceso".

Normalmente, el "co-" prefijo se utiliza para la izquierda adjunto-y cosas, mientras que el prefixless versión se utiliza para el derecho adjuntos-y las cosas. Colimits quedan adjoints como son coequalizers, pero no todo está determinado por las propiedades universales (y algunas cosas están determinadas por múltiples propiedades universales, por ejemplo, [binario] directa sumas). Abarca, por ejemplo, se utilizan comúnmente mientras cospans no se habló mucho. (Por cierto, las luces son los conos y cospans son cocones, pero esta descripción es casi seguro que causa más confusión que no. De hecho, un pullback es un límite de espacio.) Sin embargo, debido a que los seres humanos no tienen ni la inclinación ni la capacidad para garantizar la coherencia global, sin duda hay momentos en los que sería más "coherente" para cambiar el nombre de qué término es el doble. El ejemplo más notable es "tensores" y "cotensors", que, por la razón anterior, entre otros, son también llamados "copowers" y "poderes", respectivamente. (Una de las razones es que la palabra "tensor" ya está enormemente sobrecargado.)

La "izquierda"/"derecho" de la terminología, sin embargo, es aún más usada de manera consistente.¹ es muy difícil ser confundido entre el dominio y el codominio.² Si usted ve una inversión aquí, es probablemente un reflejo de algo más profundo. Ese derecho adjoints quedan Kan extensiones es no un artefacto de malas decisiones en los nombres. En primer lugar, a la izquierda Kan extensiones pueden ser descritas como de la izquierda adjoints³ (modulo algunas consideraciones de tamaño), o más bien el functor que realiza la izquierda Kan extensión a lo largo de algún functor es un adjunto a la izquierda. Segundo, colimits quedan Kan extensiones. La tercera, a la izquierda Kan extensiones son ponderados colimits (que generalmente puede ser expresado también como coends de pares). Así que este es un caso donde no hay manera de "corregir" esta terminología sin romper la "consistencia" en otros lugares, pero, de nuevo, no hay nada de malo en este caso. Como usted alude, no tenemos este "tirón" en el Kan ascensor caso. Esto sin duda tiene que ver con el hecho de que la pre-composición es la acción de la contravariante hom-functor mientras que las de post-composición es la acción de la covariante hom-functor.

¹ Las palabras "izquierda" y "derecha" provienen de nuestra notación(s) para hom-conjuntos y por lo tanto son el resultado de una convención. Uno podría imaginar que la terminología como "fuente" y "destino" adjoint que no sería sensible a la orden en que se escriben las cosas. Por otro lado, tienden a utilizar la terminología de "pre-/post-composición" en lugar de "a la derecha/a la izquierda de la composición" como el orden de la composición no es tan clara.

² Que trae a colación otro aspecto que no todos los usos de "co-" tiene que ver con la categórica de la dualidad, o al menos no fueron escogidos con cualquier referencia a categórico de la dualidad (por ejemplo, debido a la categoría de teoría no existía en el tiempo).

³ Esto le da a la noción de un mundial Kan extensión, pero que por lo general no es lo que queremos. Sin embargo, la "leftiness" aún persiste para los locales y pointwise izquierda Kan extensiones.

Answer 2

Un buen ejemplo mínimo de la ineludibilidad de este conflicto, que es en esencia de donde viene la cosa Kan derecha / izquierda adjunta, es que un objeto inicial es tanto un colimit del diagrama vacío como un límite del functor de identidad.

Answer 3

Estoy básicamente de acuerdo con Derek Elkins respuesta. Aquí es un comentario sobre los vanos. Nunca he oído a nadie describir un pushout diagrama como un palmo. He visto abarca, con ese nombre, que se utiliza en las siguientes dos maneras:

1. Para describir localizaciones de las categorías.
2. Para describir las categorías de abarca. Las luces son morfismos en un 2-categoría, y están compuestas utilizando pullbacks.

Una lamentable característica de la categoría de la teoría es que algunos de sus conceptos básicos son tan generales que pueden ser utilizados para modelar una amplia variedad de cosas diferentes, y por lo que es común tener varios nombres para la misma cosa, dependiendo de qué uso se está poniendo. Un ejemplo sencillo es llamar a un functor $F : C \to D$ "un diagrama de la forma $C$ dentro $D$" para indicar que estás a punto de tomar su límite o colimit. De forma parecida, si me voy a tomar un pushout que yo llamaría el diagrama involucrado un pushout diagrama, no un palmo.