Medida teórica integral

Question

Esta es una pregunta de práctica para el examen de calificación: ¡así que no te califiques para tareas, solo estudias!

Calcular $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\infty \frac{x^n}{ x^{(n+3)}+1} dx$

Intenté lo siguiente:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\infty \frac{x^n}{ x^{(n+3)}+1} \, dx$ = $\frac{d}{dn}\int_0^\infty \int_0^\infty\frac{x^n}{ x^{(n+3)}+1}dn \, dx$ = - $\frac{d}{dn} \int_0^\infty \frac{\ln(x^3+1}{x^3 \ln(x)} \, dx$

No estoy seguro de a dónde ir, ¡cualquier consejo sería apreciado!

Answer 1

Sugerencia:

Ha $$\lim_n \int_0^\infty \frac{x^n}{x^{n+3}+1} = \lim_n \int_0^1 \frac{x^n}{x^{n+3}+1}+\lim_n \int_1^\infty \frac{x^n}{x^{n+3}+1}$$

Uso en cada término el teorema de convergencia dominada para obtener los límites en el interior. Si $0<x<1$ entonces $x^n\rightarrow 0$ por lo que el primer término es fácil de calcular.

La segunda converge a $\frac{1}{x^3}$ y, a continuación, es necesario evaluar el $\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx$.

Answer 2

Insinuación. Tenga en cuenta que $$\int_0^{\infty}\frac{x^n}{ x^{n+3}+1}\,dx=\int_0^{1}\frac{x^n}{ x^{n+3}+1}\,dx+\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^3}-\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^3( x^{n+3}+1)},$ $ donde $$0\leq \int_0^1\frac{x^n}{ x^{n+3}+1}\,dx \leq \int_0^1 x^n \,dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1}=\frac{1}{n+1},$ $ y $$ 0 \ leq \ int_1 ^ {\ infty} \ frac {dx} {x ^ 3 (x ^ {n +3} +1)} \ leq \ int_1 ^ {\ infty} \ frac {1} {x ^ {n +3}} \, dx = \ left [- \ frac {1} {(n +2) x ^ {n +2}} \ right ] _1 ^ {\ infty} = \ frac {1} {n +2}. $$