$$\sin x\frac {dy}{dx}+(\cos x)y=\sin(x^2)$ $ $$\frac {d}{dx} y \sin x=\sin(x^2)$ $ $$y\sin x=\int \sin(x^2)dx = -\frac{1}{2x}\cos(x^2)+C$ $ $$y=-\frac{\cos(x^2)}{2x\sin x}+\frac {C}{\sin x}$ $ donde C es constante
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La respuesta dada en el libro de texto es correcto - usted se ha tratado de simplificar en exceso! Tienes que $$\frac {d}{dx} y \sin x=\sin(x^2)$$Then you integrate both sides $$y\sin x=\int\sin(x^2) \mathrm dx+C$$Then you divide by $\el pecado x$ to get $$y=\frac{\int\sin(x^2)\mathrm dx+C}{\sin x}$$
como se requiere.
No hay necesidad de tratar e integrar la $\sin(x^2)$ plazo, la forma en que lo hizo no es correcto. Para comprobar por qué este es el caso, intenta diferenciar su resultado. Si lo había hecho correctamente, esto $\sin(x^2)$. Sin embargo, lo que realmente le da es $$\sin(x^2)+\frac{\cos(x^2)}{2x^2}$$así que ha habido un error.
mrtaurho
Puntos
6
El obeservation que ustedes han hecho es bastante bueno! Se han identificado correctamente los LHS como una aplicación de la regla del producto desde
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(y\sin(x)\right)=\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\sin(x)+y\cos(x)$$
Sin embargo, sin tratar de desanimar, sino la integración de $\sin(x^2)$ es tristemente hablando no es así de simple. Puede comprobar que estaba considerando la anti-derivada es malo por el simple tomando la derivada. Por lo tanto, el conjunto solución está dada por la siguiente
$$\begin{align*} \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\sin(x)+y\cos(x)&=\sin(x^2)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(y\sin(x)\right)&=\sin(x^2)\\ y\sin(x)&=\int\sin(x^2)\mathrm d x+C \end{align*}$$
$$\therefore~y(x)~=~\frac1{\sin(x)}\left(\int\sin(x^2)\mathrm d x+C\right)$$
La adición de algunos detalles sobre los que aún permanecen integral: de Acuerdo a WolframAlpha la integral se puede escribir en términos de la función especial Integral de Fresnel. Para un simple "solución" puede expandir el seno como una serie e integrar termwise. Por otra parte, para las integrales definidas hay algún valor conocido, yo diría que la más importante es
$$\int_0^\infty \sin(x^2)\mathrm d x~=~\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt 2}$$
