Condiciones para el teorema de Rouché.

Question

Para la declaración de el teorema de Rouché, siempre he visto que tanto la $f$ e $g$ tiene que ser holomorphic sobre y en el interior de una curva cerrada simple $ C $. Sin embargo, yo soy la solución de un problema que parece sugerir que debo utilizar el teorema de Rouché aunque sólo sé que $ f $ es holomorphic en la unidad de disco $ D $ y continua en $ \bar{D} $. Yo también comprobar la Wikipedia a la página de Rouché del teorema que dice que $ f $ e $ g $ sólo necesitan ser holomorphic dentro de la región, no en la frontera. Es esto suficiente?

Answer 1

Sí, eso también me parece extraño. La hipótesis del teorema de Rouché es tener un subconjunto abierto simplemente conectado $U\subseteq \mathbb C$ y un compacto $K \subset U$ cuyo límite es una curva simple cerrada orientada positivamente.

Answer 2

Sí, es suficiente ya que, por continuidad, el supuesto de desigualdad del teorema de Rouché se extiende a algún vecindario dentro de la curva de límite y, por lo tanto, dentro del dominio holomorfo. En otras palabras, cambie un poco la curva a lo largo de algún campo vectorial normal, lo que es posible debido a la compacidad de la curva, para obtener una situación que se ajuste a la versión del teorema tal como la conoce.