Los primos pequeños atraen a los grandes

Question

$$ \begin{align} 1100 & = 2\times2\times5\times5\times11 \\ 1101 & =3\times 367 \\ 1102 & =2\times19\times29 \\ 1103 & =1103 \\ 1104 & = 2\times2\times2\times2\times 3\times23 \\ 1105 & = 5\times13\times17 \\ 1106 & = 2\times7\times79 \end{align} $$ Al mirar esta lista de factorizaciones primarias, veo que todo de los 10 primeros números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, aparecen dentro de las factorizaciones de sólo siete enteros consecutivos. (El siguiente número primo, el 31, tiene sus múltiplos tan lejos de 1100 como podría esperar conseguirlos (1085 y 1116). Así que ningún número cercano podría esperar ser divisible por 29 o 23, ni siquiera por 7 para valores convenientemente ajustados de "cercano". En consecuencia, cuando se factorizan números cercanos, se priva a esos pequeños primos de factores potenciales por los que podrían ser divisibles. Así que los números cercanos, a falta de primos pequeños que puedan dividirlos, deben ser divisibles por primos grandes. Y en consecuencia, no muy lejos, encontramos $1099=7\times157$ (El 157 no aparece tan a menudo -sólo una vez cada 157 pasos- como para esperar encontrarlo tan cerca) e igualmente el 1098 es divisible por 61, el 1008 por 277, el 1096 por 137, el 1095 por 73, el 1094 por 547, etc.; y el 1097 y el 1109 son a su vez primos.

Por lo tanto, si un número inusualmente grande de números primos pequeños ocurren inusualmente juntos como factores, entonces un número inusualmente grande de números primos grandes también debe estar en la vecindad.

¿Se conocen resultados precisos que cuantifiquen este fenómeno?

Answer 1

El fenómeno que usted describe parece ser el concepto detrás de la Tamiz de Eratóstenes .

Cada número por debajo de $ \sqrt{N} $ donde $ N $ es que el número que se quiere factorizar aparecerá al menos una vez en la lista de posibles factores. Observando la lista generada por el Tamiz, será obvio que sólo quedan los primos. Una factorización utilizando el Tamiz implica entonces la división de prueba por los primos hasta $ \sqrt{N}$ . Este concepto nos permite ver que, obviamente, si se utilizaron "muchos" primos pequeños para eliminar elementos en el tamiz, los elementos restantes tendrán factores primos más grandes, siendo posiblemente primos ellos mismos.

Sin embargo, no es posible ningún tipo de generalización, ya que cada número es cíclico. Piense en un Transformada de Fourier utilizando los factores primos como frecuencias. El 2 aparece cada dos números, el 3 cada tres y así sucesivamente. En cualquier punto $N$ No hay manera de determinar si hay primos cercanos o si los números cercanos tendrán "grandes primos" como factores sin su valor.

También podría relacionar lo que dices con el concepto de Primeros de Mersenne . Esencialmente, los primos de la forma $2^{n}–1$ el mayor ser conocido $(2^{43,112,609} – 1)$ que también resulta ser el mayor primo conocido. En este caso, están buscando primos en la viscosidad de los exponentes de 2, lo que también es decir que el factor más grande es un primo grande, ¿no?

Así que sí, es lógico que si $N$ no es un primo y tiene factores pequeños, los números cercanos tienen la posibilidad de tener factores mayores. Sin embargo, no es útil cuantificar esto.

Answer 2

Si toma $7$ números consecutivos, la probabilidad de que uno de ellos sea divisible por un primo $p$ es $\dfrac{7}{p}$ . Si $x$ de esos $7$ números son primos, entonces la probabilidad de que uno de los restantes $7-x$ números es divisible por un primo $p$ sigue siendo $\dfrac{7}{p}$ . Por ello, los números cercanos a los primos tienen relativamente más factores primos que los números más alejados de los primos.

Answer 3

Me parece que podrías examinar tu conjetura experimentalmente tomando definiciones adecuadas de "ventana pequeña" y "ventana grande", S(.) y L(.) digamos. También necesitas alguna noción de "densidad de factores primos pequeños", digamos D.

Su conjetura parece ser entonces que la frecuencia de factores primos grandes en L(.) está relacionada monotónicamente con DS(.), es decir, que a medida que uno aumenta, también lo hace el otro.