Teorema 5.8 Baby Rudin. Algunas preguntas

Question

Esto es con referencia a la página número 107 de Baby Rudin.

Teorema 5.8 Sea $f$ definirse en $[a,b]$ Si un punto $x\in(a,b)$ es un máximo local de la función $f$ y si $f'(x)$ existe, entonces $f'(x)=0$ .

Tengo algunas preguntas. Gracias de antemano por leer y ayudar.

1. ¿Y la inversa de este teorema? Supongamos que $f'(x)=0$ en algún punto, ¿podemos concluir siempre que se trata de un máximo local?

2. El teorema añade una condición que $f'(x)$ debe existir. Esto planteó una pregunta, ¿Podemos tener una función de función con máximo / mínimo local en algún punto decir $p$ pero derivada indefinida en el punto.

Editado:

Podemos tomar $f(x)=x^2$ en $[-1,1]$ . $f'(0)=0$ pero $0$ no es el máximo local. Creo que esto funciona para (1).

Answer 1

Respuesta a la pregunta 1

La derivada de $f(x)=x^3$ desaparece en $0$ pero $f$ no tiene un mínimo ni un máximo en $0$ .

Respuesta a la pregunta 2

Toma $g(x)=\vert x \vert$ vuelve a mirar el cero.

Answer 2

Si $f'(x)=0$ alors $x$ se dice que es un punto estacionario. Puede ser algo como $x=0$ en $f(x)=x^3$ también, por ejemplo.

Para (2), podemos incluso tener una función con un máximo global en $p$ pero sin derivada en este punto. Véase, por ejemplo, $f(x)=-|x|$ .

Answer 3

1. ¿Y la inversa de este teorema? Supongamos que $f'(x)=0$ en algún punto, ¿podemos concluir siempre que se trata de un máximo local?

No. Podría ser un mínimo, o ninguna de las dos cosas. Por ejemplo:

• $f(x) = x^2$ . Toma, $f'(x) = 2x$ lo que implica $f'(x) = 0$ para $x = 0$ . Al observar el gráfico, se ve inmediatamente que se trata de un mínimo local para algunos intervalos de la función.

• $f(x) = x^3$ . Toma, $f'(x) = 3x^2$ . Así, $f'(x) = 0$ sólo si $x=0$ . Observando el gráfico, está claro que no es un extremo local en ninguno de los dos sentidos, hasta la elección del intervalo.

(Digo "hasta la elección del intervalo" porque $x=0$ produce un mínimo local en la elección del intervalo $[0,1]$ para ambas funciones, y en $[-1,0]$ por ejemplo, este último tiene un máximo en su lugar. Si en general afirmamos intervalos $[a,b]$ con $a<0<b$ tienen un mínimo y ninguno respectivamente en $x=0$ .)

Esto tiene que ver con la naturaleza de los "puntos críticos" que puede que hayas aprendido en tus cursos de introducción al cálculo: puntos en los que $f'(x) = 0$ o es indefinido son candidatos a extremos locales.

---

2. El teorema añade una condición que $f'(x)$ debe existir. Esto planteó una pregunta, ¿Podemos tener una función con máximo/mínimo local en algún punto digamos $p$ ¿pero derivada indefinida en el punto?

Sí. Considere $f(x) = |x|$ en el intervalo $[a,b]$ donde $a<0<b$ . La función tiene claramente un mínimo en $x=0$ pero la derivada no está definida en ese punto.

Answer 4

Déjame intentarlo:

1) $f'(x)=0; $

Por ejemplo: $ f(x)=x^3$ en $x= 0$ punto de inflexión, no un extremo

2) $f(x)= |x|$ tiene un mínimo local en $x=0.$

$f(x)= -|x|$ tiene un máximo local en $x=0$

(f'(0) no existe)(¿Por qué?)