¿Cómo encontrar vectores propios ortogonales si algunos de los valores propios son iguales?

Question

Tengo un ejemplo: $$A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & 8 \\ 4 & 8 & 17 \end{pmatrix}$$ El valor propio que encontré es $\lambda_1=\lambda_2=1$ y $\lambda_3=22$ .
Para $\lambda=1$ , $$\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}y+\begin{pmatrix} -4\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}z$$ Para $\lambda=22$ , $$\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/4\\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}z$$ Sin embargo, esos vectores propios que encontré no son ortogonales entre sí. El objetivo es encontrar una matriz ortogonal P y una matriz diagonal Q para que $A=PQP^T$ .

Answer 1

Una cosa que sabemos es que los vectores propios de una matriz simétrica correspondientes a valores propios distintos son ortogonales. Por lo tanto, si encontramos los vectores propios $v_1,v_2,v_3$ para $\lambda_1< \lambda_2< \lambda_3$ hemos terminado. Por otro lado, tenemos los valores propios $\lambda_1=\lambda_2=1$ y $\lambda_3=22$ para que no haya $3$ distintos valores propios y la situación se vuelve algo más complicada.

Supongamos que encontramos $v_1,v_2\in E(A,\lambda_1)$ que son linealmente independientes (y, por tanto, una base para el eigespacio). Sabemos que $v_1\perp v_3$ y $v_2\perp v_3$ . Esto significa que $\langle v_1,v_3\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=0$ . Por bilinealidad del producto interior, obtenemos que $\langle av_1+bv_2,v_3\rangle =0$ para todos $a,b\in \mathbb{R}$ . El resultado es que todo el eigespacio $E(A,\lambda_1)$ es ortogonal a $v_3$ . Por lo tanto, somos libres de elegir cualquier base de vectores propios para $E(A,\lambda_1)$ y proceder a partir de ahí. Bien, sólo hay que aplicar Gram-Schmidt a $v_1,v_2$ . Definir $$ u_1=\frac{v_1}{\lVert v_1\rVert}$$ $$ u_2=\frac{v_2-\langle v_2, u_1\rangle u_1}{\lVert v_2-\langle v_2, u_1\rangle u_1\rVert}.$$ Una rápida comprobación muestra que estos dos vectores forman una base ortonormal para $E(A,\lambda_1)$ . Entonces, si tomamos cualquier $v_3\in E(A,\lambda_3)$ y establecer $$ u_3=\frac{v_3}{\lVert v_3\rVert}$$ podemos ver que $(u_1,u_2,u_3)$ es una base propia ortonormal de $\mathbb{R}^3\cong E(\lambda_1,A)\oplus E(\lambda_3,A)$ con respecto a $A$ . Ya has encontrado los vectores $v_1,v_2,v_3$ . Una vez calculado $u_1,u_2,u_3$ la matriz $P=[u_1,u_2,u_3]$ es ortogonal y $$ A=P^T \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&22 \end{bmatrix} P. $$

Answer 2

Sabemos que los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios de una matriz simétrica son ortogonales. Tienes dos valores propios diferentes, por lo tanto tienes dos vectores propios ortogonales $v_1$ y $v_2$ . Como su matriz es $3\times 3$ el tercer vector para formar $P=[v_1 | v_2 |v_3]$ tiene que ser $v_3=\pm v_1\times v_2$ . Es fácil ver que $PP^T=I$ .

Ahora sólo toma $Q=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ y resolver $A=PQP^T$ para determinar $Q$ completamente y ya está.

Answer 3

¿Qué te parece Gram-Schmidt? Dado que el eigespacio es $2$ -dimensional, ciertamente hay $2$ tal.

Proyectar y restar: $(-4,0,1)-8\frac15(-2,1,0)= (-\frac45,-\frac85,1)$ .

Ahora normaliza: $\frac5{23}(-\frac45,-\frac85,1)=(-\frac4{23},-\frac8{23},\frac5{23}):=b_1$ . Y $(-\frac2{\sqrt5},\frac1{\sqrt5},0):=b_2$ .

Por último, normalice el vector propio para $\lambda =22$ : $\frac{16}{21}(\frac14,\frac12,1)=(\frac4{21},\frac8{21},\frac{16}{21}):=b_3$ . Convenientemente, ésta es ortogonal a las otras por simetría de la matriz.

(La alternativa del producto cruzado también habría sido una buena forma de hacerlo).

Por último, la matriz $P$ cuyas columnas son los vectores base, $b_1,b_2,b_3$ de arriba servirá de algo: $P^tAP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&22\end{pmatrix}$ .