¿$(1+\frac12-\frac13) + (\frac14+\frac15-\frac16)+(\frac17+\frac18-\frac19)+\cdots$ Converge?

Question

¿La serie $$S=\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right) + \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)+\cdots converge?

Aquí está mi intento de encontrar una solución: $$S = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

Como podemos "reescribir" esta serie como un tercio de la serie armónica (que difiere), concluimos la divergencia de $S$ .

¿Es esto correcto? ¿Qué otras pruebas de convergencia podrían usarse?

Answer 1

Tu respuesta es correcta, pero tu razonamiento no lo es. La orden importa. Debe escribir la suma de la siguiente manera: $$\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}-\frac{1}{3n+3}\right) Simplifique lo que está entre paréntesis y luego evalúe de la manera habitual.

Ah, y es cierto que el orden no importa si todos los términos son positivos. Pero cuando algunos términos son positivos y otros negativos, hay que tener más cuidado.

Answer 2

La idea es correcta, pero no se puede escribir como que, debido a la serie de los involucrados son tanto divergentes y, en general, es irrelevante para hacer las operaciones aritméticas de la divergencia de la serie.

Deje $H_n = \sum_1^n 1/k$, es decir, el $n$-ésima suma parcial de la serie armónica, entonces el $$S_n = H_{3n} - \frac 23 H_n,$$ a continuación, utilice la expresión asintótica $H_n = \log n + \gamma + \varepsilon_n$ donde $\varepsilon_n \to 0 [n \to \infty]$, tenemos $$S_n = \log (3n) -\frac 23\log n + \frac 13 \gamma + \varepsilon_{3n} - \frac 23 \varepsilon_n = \log(3n^{1/3}) + \frac 13 \gamma + \alpha_n \xrightarrow{n \to \infty} +\infty.$$