¿Cómo es posible que para probar teoremas sobre algún conjunto (por ejemplo, los naturales) tenemos que introducir elementos externos a ese conjunto?

Question

Tomemos como ejemplo, la Teoría Analítica de números. Por lo que he leído, se utilizan las herramientas de números complejos para llegar a conclusiones acerca de la Teoría de los números (en este caso sería el de los naturales). Sin embargo, asumiendo que no existe la Teoría de números, teoremas sin primaria pruebas, ¿cómo puede ser que no tenemos suficiente información acerca de los productos naturales en los productos naturales propios para introducir nuevos elementos (Reales y yo) que no tienen que ver con los naturales? ¿Por qué no podemos demostrar que el uso de sólo los naturales y nada más?

Esta pregunta también se extiende a los teoremas acerca de los racionales y los reales.

También, lo siento si es una pregunta estúpida, o si las etiquetas no son apropiados. Gracias.

Answer 1

No estoy plenamente capacitado para responder a esta pregunta, pero voy a darle una oportunidad de todos modos.

El estudio de los objetos es duro, pero no a causa de una razón se puede sospechar. El estudio de los objetos es difícil porque los objetos son demasiado generales. Si yo no puedo decirle lo que los objetos de hacer o de cómo interactúan el uno con el otro (o con otras cosas), a continuación, que, básicamente, no tienen ninguna esperanza de entendimiento más allá del simple hecho de que son objetos.

Así que ahora considerar los números naturales. Puedo decir lo que son, puedo decirle lo que puede hacer con ellos (agregar y multiplicar), me pueden decir cómo ciertas propiedades de los números naturales se comportan bajo esas operaciones, pero realmente sus herramientas son limitadas. El "lenguaje" de la Aritmética de Peano es, en cierto sentido, muy estrechos. Hay muy pocas cosas que podemos hablar.

Pero, números naturales no sólo se muestran en la Aritmética de Peano. Sabemos cómo encontrarlos en mucho más robusto "lenguas", como ZFC. Y en este amplio mundo de los objetos matemáticos que los números naturales tienen la oportunidad de interactuar con muchos más tipos de objetos, y ciertas verdades que solía ser inaccesible ahora puede ser probada. Ahora podemos decir más acerca de los naturales, porque nuestro poder expresivo se ha incrementado.

¿Eso quiere decir que cada prueba que aprovecha algún objeto fuera de la Aritmética de Peano es necesariamente revelando un no-verdad elemental? No. Hay muchas veces equivalente a las pruebas más restrictiva "idiomas", pero casi siempre son más "difíciles" para encontrar, o la falta de un cierto sentido de "belleza". De hecho, puede incluso ser preguntas que no puede ser formulada sin el poder expresivo de "mas fuerte idiomas".

La contabilidad completa de la idea central aquí, que hay verdades que no pueden ser probados sin encontrar un "lenguaje" con más "poder" que la que tiene actualmente, es muy profundo. Usted puede abrir el apetito con este aritcle en Goedel los Teoremas de Incompletitud.

Answer 2

Solo para aclarar: se están preguntando por qué no podemos probar todas las declaraciones relativas a los números naturales, utilizando sólo los hechos acerca de los números naturales?

Los enteros $\mathbb{Z}$ se crean utilizando números naturales (es decir, $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ modulo una relación de equivalencia), los racionales $\mathbb{Q}$ se construyen a partir de $\mathbb{Z}$, los reales $\mathbb{R}$ se construyen a partir de subconjuntos de a$\mathbb{Q}$, y los números complejos $\mathbb{C}$ es, formalmente, $\mathbb{R}^2$ (con $i = (0,1)$).

Por esto, se puede decir que el $\mathbb{C}$ está construido a partir de $\mathbb{N}$, y cualquier resultado con el uso de $\mathbb{C}$ es un resultado basado en $\mathbb{N}$. Agregar en un campo de la teoría de la estructura es de nuevo, aún con los $\mathbb{N}$ (por ejemplo, la multiplicación por $\mathbb{C}$ es, formalmente, simplemente un subconjunto de a$\mathbb{C}^3$, un conjunto que se basa en el $\mathbb{C}$ (y, por tanto, basado en el $\mathbb{N}$)).

Disculpas si lo anterior es claro; no estoy seguro si he entendido bien su pregunta.