Para un$G_\delta$ set$F\subseteq X,$ cerrado, ¿existe una función continua$f:X\to [0,1]$ tal que$f=0$ en$F$ y$f\neq 0$ fuera de$F?$

Question

(Todos los espacios Hausdorff.)

Esta pregunta es una variante de mi pregunta anterior.

Deje $X$ ser un espacio completamente regular, es decir, para cada conjunto cerrado $F\subseteq X$ e $x\not\in F,$ existe una función continua $g:X\to [0,1]$ tal que $g(F) = \{0\}$ e $g(x) =1.$

Pregunta: Para cada cerrado $G_\delta$ establecer $F\subseteq X,$ ¿existe una función continua $f:X\to [0,1]$ tal que $f=0$ a $F$ e $f\neq 0$ fuera de $F?$

Un subconjunto $U\subseteq X$ es un ajuste a cero , si existe una función continua $g:X\to [0,1]$ tal que $g^{-1}(\{0\}) = U.$

Es bien sabido que si $X$ es normal, a continuación, cierre de $G_\delta$ sets a cero conjuntos.

Sin embargo, no estoy seguro de si el mismo es completamente regular el espacio.

Answer 1

Hay un conocido contraejemplo. Deje $S$ ser el Sorgenfrey línea, que es el verdadero línea dotado de la topología de Sorgenfrey (generado por la base que consta de la mitad de los intervalos $[a,b)$, $a<b$). Es bien conocido que un producto $X=S\times S$ es un Tychonoff, pero no el espacio normal (véase, por ejemplo, los Ejemplos 1.4.4 y 2.3.12 en [Eng]). Deje $D=\{(x,-x)\in S\times S: x\in S\}$. Entonces cualquier subconjunto $Y$ de $D$ es cerrado en $X$, y tenemos $2^{|D|}=2^{\frak c}$ dichos subconjuntos. Por otra parte, desde la $Y=\bigcap_{n\in\Bbb N} Y+[0,1/n)\times [0,1/n)$, $Y$ es $G_\delta$-subconjunto de $X$. Por otro lado, vamos a $C$ ser una contables subconjunto denso de $X$. Por el Teorema de 2.1.9 en [Esp], cada uno continua con un valor real de la función de $f$ a $X$ está determinada únicamente por su restricción de $C$, por lo que hay en la mayoría de las $\frak c^\omega=\frak c$ tales funciones. Así, la mayoría de los subconjuntos de a$D$ no son cero conjuntos.

Referencias

[Esp] Ryszard Engelking, Topología General, 2ª ed., Heldermann, En Berlín, En 1989.