¿Demuestra que las dos normas en$E=\left\{f\in \mathcal{C}^1[0,1]:f(0)=0\right\}$ son equivalentes?

Question

Yo no puedo mostrar que las dos normas se define como $$||f||_{\infty}=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)+ f'(x)|$$ y $$N(f)=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)| + \sup_{x\in[0,1]}|f'(x)|$$ son equivalentes en $E=\{f\in\mathcal{C}^1([0,1]) \text{ s.t. } f(0)=0\}$.

Una primera desigualdad en un sentido trivial.

Para la otra desigualdad, puedo escribir:

$$ f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t) dt $$ Lo que implica $$ \sup_{x\in[0,1]}|f(x)| \leq \sup_{x\in[0,1]}|f'(x)| . $$ Y, a continuación, $$ N(f)\leq 2 \sup_{x\in[0,1]}|f'(x)| . $$ Pero no puedo concluir a partir de aquí.

Le agradezco sinceramente su ayuda.

Answer 1

Como ya se ha demostrado, por $f \in C^{1}[0,1]$ tal que $f(0) = 0$, $$ \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \le \sup_{x \in [0,1]} |f'(x)|. \etiqueta{1} $$

Podemos usar esto para mostrar que $\sup |f|$ está limitada por un número constante de veces $\sup |f + f'|$, como sigue: \begin{align*} \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| &\le \sup_{x \in [0,1]} |e^x f(x)| \\ &\le \sup_{x \in [0,1]} \left| \frac{d}{dx} e^x f(x) \right| \qquad\qquad \text{(by (1), since %#%#%})\\ &= \sup_{x \in [0,1]} |e^x f(x) + e^x f'(x)| \\ &\le e \sup_{x \in [0,1]} |f(x) + f'(x)|. \end{align*}

Ahora aplica el triángulo de la desigualdad a $e^0 f(0) = 0$: \begin{align*} \sup |f'(x)| &= \sup |f'(x) + f(x) - f(x)| \\ &\le \sup |f(x) + f'(x)| + \sup |f(x)| \\ &\le \sup |f(x) + f'(x)| + e \cdot \sup |f(x) + f'(x)| \\ &= (e + 1) \sup |f(x) + f'(x)|. \end{align*}

Por lo tanto, $|f'| = |f' + f - f|$ e $\sup |f(x)|$ son tanto acotada arriba por un número constante de veces $\sup |f'(x)|$. Esto muestra que las dos normas son equivalentes.

Answer 2

Dos métricas en el mismo conjunto son equivalentes (es decir, generan la misma topología ) si tienen el mismo conjunto de secuencias convergentes, debido a que el cierre de un operador en un espacio métrico es completo y se determina únicamente por las secuencias convergentes.

Por razones de brevedad vamos a $\sup_{x\in [0,1]}|g(x)|=\|g\|_S$ para cualquier continua $g:[0,1]\to \Bbb R.$

Idea: Considerar la posibilidad de que $f(x)+f'(x)=e^{-x}(e^xf(x))'.$

(1). Si $\lim_{n\to \infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0$:

A continuación, $\lim_{n\to \infty}\|e^{-x}(e^x (f_n(x)-f(x))'\|_S=0,$ lo que implica que $\lim_{n\to \infty}\|(e^x(f_n(x)-f(x))'\|_S=0,$ , que desde $f_n(0)=f(0)=0,$ implica que $$\lim_{n\to \infty}\|e^x(f_n(x)-f(x))\|_S= \lim_{n\to \infty}\sup_{x\in [0,1]} |\int_0^x(e^t(f_n(t)-f(t))'dt\,|=0$$ which implies that $$\lim_{n\to \infty}\|f_n-f\|_S=0.$$ Now $\|f'_n-f'\|_S\leq \|(f_n+f'_n)-(f+f')\|_S+\|f-f_n)\|_S=\|f_n-f\|_{\infty}+\|f_n-f\|_S, $ so we have $$\lim_{n\to \infty}\|f'_n-f'\|_S=0.$$ Since $N(f_n-f)=\|f_n-f\|_S+\|f'_n-f'\|_S,$ therefore $\lim_{n\to \infty}N(f_n-f)=0.$

(2). Si $\lim_{n\to \infty}N(f_n-f)=0$:

Desde $N(f_n-f)\geq \|f_n-f\|_{\infty}, $ por lo tanto $ \lim_{n\to \infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0.$