Si$a+b=1$ encuentra el mayor valor para$a^2b^3$

Question

He estado intentando por un tiempo esta pregunta, pero soy nuevo en las desigualdades, así que no puedo resolverlo. Lo intenté soy gm pero fallé. Cualquier ayuda seria puntualizada.

Answer 1

Suponiendo que $a$ y $b$ no sean negativos, aplique AM / GM a $a/2$ , $a/2$ , $b/3$ , $b/3$ y $b/3$ que suman a $1$ . Uno obtiene $$\frac15\ge\sqrt[5]{\frac a2\frac a2\frac b3\frac b3\frac b3}$ $ etc.

Answer 2

Sólo mediante el álgebra.

El uso de $b=1-a$, se busca el máximo de la función $$f(a)=a^2(1-a)^3$$ Calcular las derivadas $$f'(a)=-a(1-a)^2 (5 a-2)$$ $$f''(a)=2(1-a)(10 a^2-8 a+1)$$ La primera derivada cancela con al $a=0$, $a=1$ e $a=\frac 25$. Para los dos primeros, $f(a)=0$. Para la última, $f\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{108}{3125}$ e $f''\left(\frac{2}{5}\right)=-\frac{18}{25} <0$ confirma que este es un valor máximo.

Answer 3

No existe. Pruebe con $b\rightarrow+\infty$ .

Para no-negativos $a$ y $b$ por AM-GM obtenemos: $$a^2b^3=2^23^3\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\frac{b}{3}\right)^3\leq2^23^3\left(\frac{2\cdot\frac{a}{2}+3\cdot\frac{b}{3}}{5}\right)^5=\frac{108}{3125}.$ $ La igualdad se produce para $\frac{a}{2}=\frac{b}{3},$ que dice que obtuvimos un valor máximo.

Answer 4

$$f(x)=(1-x)^2\cdot x^3=x^5-2x^4+x^3$ $ $$f'(x)=5x^4 -8x^3 + 3x^2=x^2(5x^2-8x+3)=x^2(x-1)(5x-3)$ $ $$f'(x) = 0 \implies x \in \{0, 1, \frac 35\}$ $ $$f''(x)=20x^3-24x^2+6x=2x(10x^2-12x+3)$ $ $$f''(0)=0, f''(1)>0, f''(\frac 35)<0$ $

Por lo tanto, $b=\frac 35, a=\frac 25$ , si asumimos $a,b > 0$

Answer 5

Deje que la Restricción de la función $$C(a,b)= a+b-1=0 $$ y la función de Objeto que debe ser la maximización de $$G(a,b)=a^2b^3 $$ contamos con la diferenciación parcial de combinada de Lagrange: $$ C(a,b)- \lambda G(a,b) $$ condiciones para evaluar el multiplicador $\lambda$ $$\dfrac {\dfrac{\partial C(a,b)}{\partial a} } {\dfrac{\partial C(a,b)}{\partial b} } =\dfrac {\dfrac{\partial G(a,b)}{\partial a}} {\dfrac{\partial G(a,b)}{\partial b} } $$ $$\dfrac{2a^2b^3}{3a^3b^2} =1\quad \rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3} $$

Que alcanza un máximo.. se puede comprobar con las segundas derivadas de la función de Objeto y de su cambio de signo.

Después de conectar estos valores Objeto de la función de valor máximo es:

$$ \dfrac{27a^5}{8} =\dfrac{4b^5}{9}. $$