¿Pueden dos distribuciones diferentes tener el mismo valor de media, varianza, sesgo y curtosis?

Question

Suponiendo que tiene dos distribuciones de población discretas.

¿Pueden tener valores idénticos de media, varianza, sesgo y kurtosis mientras que tienen una forma visual diferente?

¿Estos cuatro valores actúan como una huella digital de cualquier distribución?

Answer 1

Tomar una mezcla de dos distribuciones Normales con la densidad de $$f(x|\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\omega)= \frac{\omega}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\{-(x-\mu_1)^2/2\sigma_1^2\}+ \frac{1-\omega}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\{-(x-\mu_2)^2/2\sigma_2^2\}$$ Esta distribución tiene cinco parámetros limitados por cuatro ecuaciones \begin{align*} \mathbb{E}[X]&=\omega\mu_1+(1-\omega)\mu_2\\ \text{var}(X)&=\omega\sigma_1^2+(1-\omega)\sigma_2^2+\omega(\mu_1-\mathbb{E}[X])^2+(1-\omega)(\mu_2-\mathbb{E}[X])^2\\ \mathbb{E}[X^3]&=\ldots\\ \mathbb{E}[X^4]&=\ldots \end{align*} Suponiendo que estas ecuaciones son compatibles, por lo tanto, existe un número infinito de soluciones $(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\omega)$.

Answer 2

Xi'an, la respuesta de demostrar (o, al menos, dejó entrever una prueba) de que existen diferentes distribuciones con la misma media, varianza, asimetría y la curtosis. Sólo quiero mostrar un ejemplo de tres visualmente distintas distribuciones discretas con los mismos momentos (media=asimetría=0, varianza=1 y curtosis=2):

El código para generar ellos es:

library(moments)

n <- 1e6

x <- c(-sqrt(2), 0, +sqrt(2))
p <- c(1,2,1)
mostra1 <- sample(x, size=n, prob=p, replace=TRUE)

x <- c(-1.4629338416371, -0.350630832572269, 0.350630832573386, 1.46293384163564)
p <- c(1, 1.3, 1.3, 1)
mostra2 <- sample(x, size=n, prob=p, replace=TRUE)

x <- c(-1.5049621442915, -0.457635862316285, 0.457635862316022, 1.50496214429192)
p <- c(1, 1.6, 1.6, 1)
mostra3 <- sample(x, size=n, prob=p, replace=TRUE)

mostra <- rbind(data.frame(x=mostra1, grup="a"),
                data.frame(x=mostra2, grup="b"),
                data.frame(x=mostra3, grup="c"))
aggregate(x~grup, data=mostra, mean)
aggregate(x~grup, data=mostra, var)
aggregate(x~grup, data=mostra, skewness)
aggregate(x~grup, data=mostra, kurtosis)

library(ggplot2)
ggplot(mostra)+
  geom_histogram(aes(x, fill=grup), bins=100)