¿Hay alguna forma de encontrar este límite algebraicamente? $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Question

Soy un Cálculo I estudiante y mi maestro me ha dado un conjunto de problemas a resolver con L'Hoptial la regla. La mayoría de ellos han sido bastante fácil, pero este me tiene perplejo.

$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Usted notará que el uso de la regla de L'Hospital invierte el valor de la parte superior a la parte inferior. Por ejemplo, se utiliza una vez que devuelve:

$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$$

Y hacerlo de nuevo vuelve al principio:

$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Yo, por supuesto, lo conecté a mi calculadora para encontrar el límite de evaluar a 1, pero me preguntaba si había una manera mejor de hacer esto de manera algebraica?

Answer 1

Sugerencia : divida el numerador y el denominador por $x $ y aplique el límite.

PS

Answer 2

Insinuación

Simplemente use $${x\over x+1}={x\over \sqrt{x^2+2x+1}}<{x\over \sqrt{x^2+1}}<1$$for large enough $ x> 0 $ .

Answer 3

Por su propio razonamiento, se tienen las siguientes: $$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}=\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$$

Ahora, la izquierda es claramente el recíproco del lado derecho, por lo tanto tenemos: $$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}=\frac{1}{\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}$$

(Tenga en cuenta que al realizar esta manipulación se supone que $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ converge a un número real. Sin embargo, puede utilizar la primera derivada para demostrar que este es un siempre creciente de la función y, a continuación, utilizar el álgebra básica para mostrar que $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} < 1$ para todos los $x\in\Bbb{R}$. Por lo tanto, debido a que este es un delimitada, siempre que aumenta la función, el límite de $x\to \infty$ deben converger para algún número real, por lo que nuestra hipótesis en este manipulación es válida.)

Multiplica: $$\left(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)^2=1$$

Tomar la raíz cuadrada: $$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}=\pm 1$$

Sin embargo, es fácil mostrar que $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}>0$ para todos los $x > 0$. Por lo tanto, no hay manera de que el límite puede ser un número negativo como $-1$. Por lo tanto, la única posibilidad que nos queda es $+1$, así: $$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}=1$$

Answer 4

Al calcular el límite de funciones racionales, como es el caso de $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}},$$ you want to divide the top and bottom by the highest degree in the denominator, which in this case is $x$. Since $x \rightarrow +\infty$, so $x$ is always positive (at least, near where we are worried about) I claim that $x = \sqrt{x^2}$. So, if we divide the top and bottom by $x$, we get $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x^2}}.$$ Usted debe ser capaz de calcular el límite de aquí.

Cada vez que usted vea un monomio en el numerador con la raíz cuadrada de un polinomio en el denominador, se debe considerar este método. Por supuesto, tenga en cuenta que usted tendrá que ajustarlo un poco si $x \rightarrow -\infty$! Trate de ver si se puede averiguar lo que iba a cambiar en ese caso.

Answer 5

Establecer $x = \sinh t$ . Tenemos $$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}= \frac{\sinh t}{\sqrt{1+\sinh^2t}} = \frac{\sinh t}{\cosh t} = \tanh t$ $

$x \to \infty$ es equivalente a $t\to\infty$ así que $$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{t\to\infty} \tanh t = \lim_{t\to\infty}\frac{e^t - e^{-t}}{e^t+e^{-t}} = \lim_{t\to\infty}\frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1} = 1$ $