Deje $R_n$ ser un simple paseo aleatorio con $R_0 = 0$, y deje $T$ ser el menor índice tal que $k\sqrt{T} < |R_T|$ positivos $k$.
¿Qué es una expresión para la distribución de probabilidad de $T$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para un movimiento Browniano, Novikov encuentra una expresión explícita para cualquier momentos reales (positivos y negativos) de la variable aleatoria $(\tau(a,b,c)+c)$, donde $$ \tau(a,b,c) = \inf(t \geq 0, W(t) \leq -a +b(t+c)^{1/2}) $$ con $a \geq 0$, $c \geq 0$, y $bc^{1/2} < a$. Shepp proporciona resultados similares, pero con W(t) sustituido por |W(t)| en la definición, y el rango permisible $a,b,c$ restringido en consecuencia. Shepp también cita documentos por Blackwell y Freedman (1964), Chow, Robbins, y Teicher (1965), y Chow y Teicher (1965), que parecen demostrar similar, pero más débiles resultados cuando el movimiento Browniano es reemplazado por una caminata aleatoria con varianza finita. No tengo tiempo para leer esas referencias en el momento, pero me imagino que estos documentos debe llevar a su respuesta.
Whisk
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1903
Dudo de si usted puede escribir una fórmula exacta para la distribución de T.
Si usted está interesado en los valores grandes de k, de la ley del logaritmo iterado entrará en la imagen. El valor típico de T (es decir, la mediana) debe ser del orden de $\exp(\exp(k^2/2))$.
jaywgraves
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47
Edificio en Yemon, que sugiere que la solución es de alguna distribución de golpear a tiempo, si suponemos que el umbral para el 'hit' es $\sqrt{T}$, y que esa variación, $u$, de la variable aleatoria es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo, entonces el tiempo medio para que la variable exceder $\sqrt{T}$ igual $ku\sqrt{T} \Phi(1)/2$, o aproximadamente el $ku\sqrt{T} \cdot 0.16$, distribuido lognormally.
Matt Miller
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1829
Después de un ingenuo heurística que reescalado un simple paseo aleatorio (en la línea, por ejemplo) nos dará el movimiento Browniano, la pregunta se parece a una versión discreta de la siguiente pregunta: ¿cuál es la distribución de los golpeando tiempo para un estándar de movimiento Browniano, comenzando en el origen?
La cuestión planteada podría tener un messier respuesta, pero uno podría ser capaz de avanzar de manera más directa. Por ejemplo, la probabilidad de que $T> n$ es la probabilidad de que $R_j^2 \leq k^2j$ todos los $j=1,2,\dots, n$, y uno podría ser capaz de calcular o al menos que la estimación de la probabilidad directamente por un ataque de fuerza bruta a contar el argumento. (Estoy seguro de que debe haber una mejor manera, sin embargo, que implican el uso juicioso de probabilidades condicionales.)
