Pregunta del diagrama conmutativo

Question

Supongamos plaza exterior en el diagrama de arriba es comutative es decir, $c\circ q\circ p=s\circ r\circ a$

Además, supongamos que el lado derecho de la plaza es conmutativa es decir, $c\circ q=s\circ b$?

Implica lado izquierdo de la plaza es conmutativa es decir, $b\circ p=r\circ a$??

Si $s$ tiene una inversa, se sigue trivialmente. Hay otras condiciones que confirmar esto?

Answer 1

En general, no. Si $F$ es un terminal de objeto, a continuación, el diagrama completo y el derecho de la plaza de conmutar automáticamente (ya que todos los compuestos de a $F$ son los únicos morfismos a la terminal de objeto) y, a continuación, la parte izquierda de la plaza puede ser cualquier cosa, conmutativa o de otra manera.

Si $s$ es monic, a continuación, la parte izquierda de la plaza de los viajes, ya que $$s \circ r \circ a = c \circ q \circ p = s \circ b \circ p \quad \Rightarrow \quad r \circ a = b \circ p$$

De hecho, $s$ siendo monic es, en cierto sentido, equivalente a la condición de su pregunta. En efecto, supongamos $s$ es fijo y, para todos los diagramas de con $s$ en la parte inferior derecha, conmutatividad del exterior y a la derecha plazas implica la conmutatividad de la parte izquierda de la plaza. Podemos demostrar que $s$ es monic.

Así que vamos a $f,g : B \to E$ y supongamos $s \circ f = s \circ g$. Forma el diagrama de con $a=p=q=\mathrm{id}_B$, $b=f$, $r=g$ e $c = s \circ f$. A continuación, la mano derecha de la plaza de viajes trivialidad y la plaza exterior desplazamientos desde $s \circ f = s \circ g$. Por lo tanto la parte izquierda de la plaza de desplazamientos, y por lo $f=g$. Por lo $s$ es monic.