Demostrar

Question

Tengo que demostrar que el siguiente límite es igual a $\sqrt{\pi/2}$ : $$\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot4\cdot6\cdot...\cdot(2n-2)(2n)}{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)}\frac{1}{\sqrt{2n+1}}=\sqrt\frac{\pi}{2}$ $

Para calcular este límite, sabemos que: $$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\ dx\quad I_{2n}=\frac{1\cdot3\cdot..\cdot(2n-3)(2n-1)}{2\cdot4\cdot..\cdot(2n-2)(2n)}\frac{\pi}{2}\quad I_{2n+1}=\frac{2\cdot4\cdot..\cdot(2n-2)(2n)}{1\cdot3\cdot..\cdot(2n-1)(2n+1)}$ $ He intentado volver a escribir el límite como: $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{I_{2n}\sqrt{2n+1}}\frac{\pi}{2}$ $ Pero no sé cómo continuar ... ¿Podría ayudarme? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Usando la notación factorial doble necesitamos encontrar $$\lim_{n\to\infty} \frac {(2n)!!}{(2n-1)!!\sqrt {2n+1}}$ $

Ahora, utilizando la relación entre factorial doble y factorial, el límite cambia a $$\lim_{n\to\infty} \frac {2^{2n}(n!)^2}{(2n)!\sqrt {2n+1}}$ $

Usando la aproximación de Stirling para los factoriales obtenemos $$\lim_{n\to\infty} \frac {2^{2n}\cdot (2\pi n)\cdot \left(\frac ne \right)^{2n}}{\sqrt {2\pi}\cdot\sqrt {2n} \cdot\left(\frac {2n}{e}\right)^{2n} \cdot \sqrt {2n+1}}$ $

Por lo tanto, los cambios de límite a $$\lim_{n\to\infty} \frac {n\sqrt {2\pi}}{\sqrt {2n} \cdot \sqrt {2n+1}}$ $

Que se evalúa fácilmente a $\sqrt {\frac {\pi}{2}}$

Answer 2

Echa un vistazo aquí: las integrales de Wallis y aquí .