Cuál es la razón de la propiedad conmutativa en la multiplicación de números reales

Question

Esto puede parecer una pregunta realmente estúpida, pero soy incapaz de racionalizar conmigo mismo por qué existe la propiedad conmutativa al multiplicar 2 números reales.

Por ejemplo:

$2 * 5 = 10$

Esto significa que si añadimos $2$ $5$ veces obtendremos $10$ .

Pero es algo sorprendente cuando podemos decir con seguridad que si añadimos $5$ $2$ veces también obtendremos $10$ .

Cuál es la razón de esta propiedad, sé que puedo estar dándole demasiadas vueltas, pero no consigo entender intuitivamente por qué ocurre esto.

Sé que $5$ en realidad "contiene" $2$ ¿pero cómo garantiza eso la propiedad conmutativa?

Por ejemplo, la multiplicación de matrices no es conmutativa, pero sí lo es la multiplicación de números reales.

¿Estoy dándole demasiadas vueltas a algo sencillo?

Necesito algo de claridad.

Answer 1

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En esta imagen hay cinco columnas de dos estrellas cada una, por lo que en total hay $2+2+2+2+2$ estrellas.

Por otra parte, también hay dos filas de cinco estrellas cada una, por lo que en total hay $5+5$ estrellas.

Como el número de estrellas tiene que ser el mismo independientemente de cómo las contemos, ¡son las mismas estrellas! -- tiene que ser necesariamente que $2+2+2+2+2=5+5$ .

El hecho de que si se cuentan las mismas cosas en distintos órdenes se obtendrá el mismo número es, posiblemente, la propiedad más fundamental de "contar". Es una experiencia práctica que debería apoyarse en muchos ejemplos reales en la escuela primaria. Dudo que pueda reducirse a algo que parezca más fundamental que contar.

Answer 2

Es $17 \times 19$ igual a $19 \times 17$ ? Esto no es obvio, hasta que dibujamos un cierto cuadro, y entonces se hace bastante obvio.

Dibuja una matriz rectangular de puntos con 17 filas y 19 columnas. Si agrupamos los puntos fila por fila, tenemos 17 grupos de 19. Por otro lado, si agrupamos los puntos columna por columna, tenemos 19 grupos de 17. Por tanto, 17 de 19 es 17. Por tanto, 17 de 19 es lo mismo que 19 de 17.

Answer 3

Durante miles de años, antes de que pudiera demostrarse formalmente, la conmutatividad de la suma y la multiplicación se consideró "de sentido común", basada en la experiencia con innumerables ejemplos. Hoy en día, incluso podría utilizarse como una especie de prueba de cualquier definición formal de los números (naturales o reales), la suma y la multiplicación. Si no se pudieran demostrar estas y otras propiedades de "sentido común" utilizando estas definiciones, éstas serían claramente inadecuadas.

Answer 4

Puede pensarse que 2 veces 5 es el tamaño total de 5 conjuntos con 2 elementos cada uno, mientras que 5 veces 2 es el tamaño total de 2 conjuntos con 5 elementos cada uno. Para ver que representan en total el mismo número de elementos, vemos que podemos emparejar el primer elemento del tercer conjunto del primer producto con el tercer elemento del primer conjunto del segundo producto, y el segundo elemento del cuarto conjunto del primer producto con el cuarto elemento del segundo conjunto del segundo producto, etc. Si podemos emparejar los artículos de dos grupos de uno en uno, deben tener el mismo tamaño.

Answer 5

Nota:- Estoy dando esta respuesta utilizando el ejemplo. Si alguien puede generalizarla, se lo agradeceré :) Demostrar que $14×11=11×14$ . (Supongo que sabes que mxn es n sumado m veces)

Prueba-: $11×14=(11×11)+(11×3)$ .....(1) Sea $3×11=11×3$ . Así, la ec.(1) se convierte en = $(11×11)+(3×11)=14×11$ . Probado.

Pero, aquí suponíamos que $3×11=11×3$ . Tenemos que demostrar lo mismo. Así pues, consideremos $11×3=(3×3)+(8×3)$ ....(2) Sea $8×3=3×8$ . Por lo tanto, (2) se convierte en $11×3=(3×3)+(3×8)=3×11$ . Probado.

Pero en este último consideramos que $8×3=3×8$ . Por lo tanto, tenemos que demostrar lo mismo. De la misma manera, demostramos que $8×3=3×8$ pero suponiendo que $3×5=5×3$ . Por lo tanto, tenemos que demostrar esto ahora. Lo demostraremos de la misma manera suponiendo que $3×2=2×3$ . Ahora, necesitamos demostrar esto. Lo demostraremos de forma similar y, en un paso intermedio, supondremos que $2×1=1×2$ . Pero mira esto. ¿Crees en $n×1$ es decir, n es igual a $1×n$ es decir $1$ sumado n veces. Por lo tanto, siempre se acabaría suponiendo $c×1=1×c$ lo que es cierto por la definición de números naturales. Por lo tanto, demostramos que $14×11=11×14$ . Ahora te toca a ti generalizar esto para la siguiente afirmación.

Para algunos números enteros +ve $a,b$ , $a×b=b×a$ .