Problema en la evaluación de derivados logarítmicos

Question

Dada la propiedad del logaritmo de que $\log{xy} = \log{x} + \log{y}$, ¿cómo se podía tomar el 'derivado' de esto?

Para ser más claros,

$\log{xy} = \log{x} + \log{y}$ (propiedad de $\log$)

$D(\log{xy}) = D(\log{x} + \log{y})$ (i) (Tomar la derivada de ambos lados)

Ahora, $D(\log{x} + \log{y}) = D(\log{x}) + D(\log{y})$ (ii) (Derivado de la suma es la suma de los derivados)

La combinación de (i) y (ii): $D(\log{xy}) = D(\log{x}) + D(\log{y})$ (iii)

Implica: $\frac{1}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (Evaluar la derivada del logaritmo uso de $D(\log{x}) = \frac{1}{x}$

$\frac{1}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ se ve falso para mí; por ejemplo, mientras que $\log{6}$ igual $\log{2} + \log{3}$, $\frac{1}{6}$ no es igual a $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.

Mi primera idea fue que el problema estaba relacionado con lo que la variable I toma la derivada de con respecto a, pero me gustaría entender un poco más formalmente, si alguien pudiera guiarme.

Lo que está mal en este ejemplo?

Answer 1

Sí, como usted ha dicho, lo que importa es que la variable tome un derivado con respecto a la. Ya tenemos dos variables, si asumimos que son independientes, entonces tenemos que usar derivadas parciales. Si elegimos $x$, luego $$\frac{\partial \log(xy)}{\partial x}=\frac{y}{xy}=\frac1x$$and $$\frac{\partial}{\partial x}(\log x+\log y)=\frac1x+0=\frac1x$$So the answers agree. (the same thing happens if we chose $de$y lugar).

Alternativamente, usted puede tomar un total de derivados. $$\mathrm d(\log xy)=\frac{\partial \log xy}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial \log xy}{\partial y}\mathrm dy=\frac1x\mathrm dx+\frac1y \mathrm dy$$This agrees with $$d(\log x+\log y)=\frac1x\mathrm dx+\frac1y \mathrm dy$$ Así que no hay incoherencias.

Answer 2

El problema es que su operador diferencial $D$ no se comporta de la manera que usted cree que lo hace. $$ D (\ log (xy)) = \ frac {1} {xy} D (xy) = \ frac {1} {xy} (ydx + xdy) = \ frac {1} {x} dx + \ frac { 1} {y} dy = D (\ log (x)) + D (\ log (y)) $$ En ningún momento de este cálculo, realmente tenemos $\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ - estamos trabajando con diferenciales, y no derivados.