¿Por qué es $\cos(i)>1$ ?

Question

Siempre he pensado que el coseno sólo oscila entre $-1$ a $1$ . Pero, descubrí que $$\cos(i)=\frac12\left(e+\frac{1}{e}\right)$$ que es ciertamente mayor que $1$ . ¿Por qué?

Answer 1

Es cierto que el coseno de un número real debe estar entre $-1$ y $1$ pero esto no es cierto para el coseno de un número complejo. De hecho, las funciones complejas diferenciables nunca pueden estar acotadas (a menos que sean constantes).

He aquí una analogía, si quieres. Dejemos que $f(x) = x^2$ . Entonces aprendemos alguna regla que $f(x) \geq 0$ para todos $x$ . Pero espera un segundo, $f(i)$ es negativo. No hay escándalo, ya que $i$ no es un número real.

Answer 2

La definición general de $\cos(z)$ es $$\cos(z)=\frac{{e^{iz}}+e^{-iz}}{2}$$ Cuando se introducen números complejos en $\cos(z$ ), puede obtener valores superiores a $1$ o menos de $-1$

Answer 3

La función $\cos z$ pertenece al intervalo $\left[-1,1 \right]$ cuando $z$ es un número real, no necesariamente cuando $z$ es un número complejo. Un ejemplo de esto es $\cos i > 1$ como usted ha señalado correctamente.

Answer 4

Esto es lo que ocurre visualmente: cosh es esencialmente coseno con dominio de números imaginarios, como dije en los comentarios. Coseno y seno trazan el círculo unitario, y COSH (el específico por el que preguntaste) y sinh para la hipérbola unitaria. Las funciones de parametrización del círculo (sin y cos) tienen un rango entre $-1$ y $1$ mientras que la hipérbola unitaria ( $x^2-y^2=1$ ) no tiene límites. Puedes buscar estas gráficas para ver esto o incluso ver más profundamente su forma a través de su relación con las secciones cónicas. Así que esto es una intuición visual si quieres una razón mientras te saltas todo el álgebra sin sentido.

*Si se continúa la gráfica del círculo unitario, poniendo salidas fuera del rango del círculo unitario y sacando números imaginarios, se traza la hipérbola unitaria. Y en cierto modo tiene sentido que si un ángulo real da el círculo, una hipérbola pueda salir de algo imaginario. De todas formas, también hay otras razones por las que esta hipérbola en particular se considera "unidad". cosh y sinh parametrizan la hipérbola unidad porque subiendo el cos y el sin por una función de sus homólogos hiperbólicos en la identidad $cos^2(x)+sin^2(x)=1$ se obtiene $cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$ por lo que el seno y el coseno hiperbólicos parametrizan la hipérbola unitaria, que de nuevo es $x^2-y^2=1$ , dejando que x=cosh(t) e y=sinh(t).

Answer 5

Sugerencia

Utilizar la identidad $$\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$$