¿Las ecuaciones de Maxwell son "físicas"?

Question

El canónicas de las ecuaciones de Maxwell se deriven de la Lagrangiana

$${\cal L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} $$

mediante la resolución de Euler-Lagrange las ecuaciones.

Sin embargo: El Lagrangiano de arriba es invariante bajo la transformación gauge

$$A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \Lambda(x) $$

para algunos escalares fiend $\Lambda(x)$ que se desvanece en el infinito. Esto implica que no será redundante grados de libertad en nuestras ecuaciones de movimiento (es decir, las ecuaciones de Maxwell).

Por lo tanto, como yo lo entiendo medidor de fijación, esto implica que las ecuaciones de Maxwell (sin medidor de fijación) puede llevar a no físico predicciones.

Pregunta: de Ahí mi pregunta es, simplemente, son las ecuaciones de Maxwell (las derivadas de $\cal{L}$ por encima) de la realidad física, en el sentido de no hacer no físico predicciones?

Ejemplo: La solución general de las ecuaciones de movimiento derivado de $\cal{L}$ está dado por

$$A_\mu(x) = \sum_{r=0}^3 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left(\epsilon^r_\mu(\mathbf{p}) a^r_\mathbf{p}e^{-ipx} + \epsilon^{*r}_\mu(\mathbf{p}) (a^r_\mathbf{p})^\dagger e^{ipx} \right)$$

donde tenemos, en primer lugar, de 4 estados de polarización de fotones externos.

Mi entendimiento: es que podemos eliminar uno de estos grados de libertad por darse cuenta de que $A_0$ no es dinámico, pero para quitar el otro tenemos a imponer la invariancia gauge (cf. (2)). Esto parece implicar que , a menos que fijar un indicador de las ecuaciones de Maxwell predice que un motor de la polarización de los fotones.

Answer 1

Sólo una queja acerca de nombres de primera: las ecuaciones de Maxwell son escritas en términos de los campos eléctricos y magnéticos, que son de orden físico grados de libertad. Estás en lugar de hablar acerca de Euler-Lagrange las ecuaciones de la Lagrangiano de Maxwell.

En la clásica de nivel, si queremos escribir el electromagnetismo en términos de una de cuatro posibles, que potencial tiene que tener un medidor de simetría para evitar la redundancia. Si usted no tiene un medidor de simetría, la teoría, simplemente no va a ser clásica del electromagnetismo. En cambio, las ondas con un fijo wavevector tendrá tres independiente de las polarizaciones.

Sin embargo, esta teoría tiene un gran problema: la ecuación de movimiento $\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0$ sólo es suficiente para determinar la evolución de los campos, no los potenciales. Es decir, la teoría clásica no es determinista! Esto se corresponde directamente con una pérdida de unitarity en el nivel cuántico. Estas dos características son lo suficientemente malo que algunos dirían calibre, la simetría es un requisito para que la teoría tenga sentido.

Tenga en cuenta que esto no es cierto si usted agregar una masa plazo $m^2 A_\mu A^\mu$ a la de Lagrange; en este caso la ecuación de movimiento es simplemente el de Klein-Gordan ecuación para cada componente. Este es el Proca de la teoría, lo que hace perfecto sentido sin medidor de simetría. Sin embargo, los problemas se vuelven a introducir cuando la masa llega a cero. Como tal, el calibre de la simetría para la masa de la teoría no es realmente una opción, y no es específico a la cuantización; es en cambio necesario en la clásica de nivel y se transfiere a la cuántica.

Answer 2

1. Usted está en lo correcto que hay medidor de grados de libertad en la solución de $A_\mu$ - precisamente el ordinario medidor de transformaciones. Pero $A$ no es físico, la intensidad de campo electromagnético $F$ es. No hay medidor de grados de libertad en $F$, y como una ecuación de $F$de las ecuaciones de Maxwell son físicos.

2. La polarización de la clásica de la $A_\mu$ no tiene nada que ver con los fotones. No hay fotones en una teoría clásica. Las ecuaciones de Maxwell solo clásicamente totalmente suficiente para permitir que sólo transversales ondas EM, ver, por ejemplo, esta pregunta y sus respuestas.

Answer 3

Las dos respuestas anteriores son respetables respuestas y reflejar la teoría actual. Tengo una respuesta diferente, a saber, que el epotential es físico, y he comprobado que es la única correcta. Hace 19 años publiqué un papel con una formulación diferente. Comienza con el Fermi de Lagrange ${\cal L}= \frac{1}{2} \epsilon_0 \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu$, para llegar a la ecuación de onda $\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = \mu_0 j^\nu$. El potencial de $A^\nu$ está determinada únicamente por el requisito de la causalidad. Puesto que la ecuación de onda es bijective, de conservación actual, $\partial_\mu j^\mu = 0$ implica $\partial_\mu A^\mu = 0$ y viceversa. Es decir, sólo la transversal de la parte del espacio de la solución describe el campo de conserva actual. Me muestran que la fuerza de Lorentz de la siguiente manera. La solución de la ecuación de onda se puede escribir en términos de un propagador, que es simplemente la función de Green de la d'Alembertian operador $\partial_mu \partial^\mu$.

Permítanme explicar por qué digo que esta formulación es la única correcta. En principio mi formulación predecir exactamente la misma medida de resultado mientras sólo el electromagnetismo es considerado. El definitivo argumento, sin embargo, viene de la gravitación. Un electromagnética de energía-impulso de distribución implica un campo gravitacional. En mi teoría de la EM distribución es la Nöther distribución de la (Fermi) de Lagrange. Este no es el caso de la invariante gauge de la teoría. La norma EM distribución de la Belinfante-Rosenfeld de Lagrange es un grupo ad hoc para la modificación de la Nöther la forma, y por esto un grupo ad hoc para la modificación de un campo gravitacional. Este ad hoc de la modificación es necesaria debido a que el BR de Lagrange implica un no-invariante gauge, asimétrica (TGR requiere simetría) Nöther forma.

Hay muchas ventajas a esta formulación, como se puede ver por usted mismo en el papel.