¿Es un grupo perfecto finito no trivial de orden 4n?

Question

Un grupo finito$G$ es perfecto si$G = G^{(1)} := \langle [G,G] \rangle$, o de manera equivalente, si alguna$1$ - representación compleja dimensional es trivial.

Pregunta: ¿Un grupo perfecto finito no trivial es un múltiplo de$4$?

Observación : Es cierto para$\vert G \vert \le 10^6$, al verificar con GAP.

Answer 1

Sí, si el $2$-subgrupo de Sylow es cíclico, a continuación, el grupo tiene una normal $2$-complemento, que es normal y adecuada subgrupo con abelian cociente (siendo de orden $2$ en el caso de que la orden es divisible por $2$, pero no por $4$).

La declaración anterior de la siguiente manera de Burnside de transferencia del teorema junto con el normalizador/centralizador teorema.

De hecho, también se puede ver en la misma forma que si $4$ divide al orden del grupo y $8$ no, entonces, si el grupo es perfecto, que debe tener un orden divisible por $3$.

Un poco más sobre el caso general: Burnside de transferencia del teorema afirma que si el grupo tiene un $p$-subgrupo de Sylow que es central en su normalizador, a continuación, el grupo tiene una normal $p$-complemento. Obviamente, si un grupo tiene un normal $2$-complementar entonces es solucionable (por Feit-Thompson) y por lo tanto no es perfecto.

Aplicar en esta situación, observamos que si $P$ $2$- Sylow entonces lo que necesitamos es mostrar que $N_G(P)/C_G(P)$ es trivial, y el uso que este es isomorfo a un subgrupo de $\operatorname{Aut}(P)$, lo que necesitamos saber algo acerca de que es el fin de este automorphism grupo.

Para pedidos pequeños de $P$, es fácil dar órdenes explícitas para la automorphism grupos, pero en general, si uno quiere hacer una declaración de la forma "si $2^m$ es el mayor poder de $2$ dividiendo $|G|$ $G$ es perfecto, a continuación, $|G|$ es divisible por uno de los siguientes números primos", sería necesario comprender el conjunto de $X_n$ de impares primos dividiendo las órdenes de automorphism grupos de grupos de orden $2^n$, y creo que no se sabe mucho acerca de esto en general, aparte del hecho obvio de que $X_n\subseteq X_{n+1}$ (a pesar de que probablemente debería ser bastante posible decir algo con el añadido de la suposición de que el $2$-Sylow es abelian).

Answer 2

Fuera de su interés, aquí es otro enfoque para demostrar que un grupo finito $G$ que tiene un cíclica de Sylow $2$-subgrupo $S$ tiene necesariamente una normal $2$-complemento. Por inducción, es suficiente para el anexo a (normal) subgrupo de índice $2$. Considere la posibilidad de regular la representación de $\rho_{G}$$G$. Esta es una representación de $G$ por permutación de matrices, por lo $\delta(x) = {\rm det} \rho_{G}(x) = \pm 1$ todos los $x \in G$. Por lo tanto ${\rm ker} \delta$ es un subgrupo normal de $G$ de índice dividiendo $2$. Por lo tanto, es suficiente para encontrar un elemento $x \in G$ $\delta(x) = -1.$

Deje $s$ ser un generador de $S$. Tenga en cuenta que ${\rm Res}^{G}_{S}(\rho_{G}) = [G:S]\rho_{S}$, por lo que el $\delta(s) = \phi(s)^{[G:S]}$ donde $\phi(s) = {\rm det} \rho_{S}(s).$ Desde $[G:S]$ es impar, basta probar que $\phi(s)= -1$.

Ahora los autovalores de a $\rho_{S}(s)$ son de todos los complejos (pero no necesariamente primitivo) $|S|$-th raíces de la unidad, cada uno de los que ocurre con la multiplicidad $1$. Sin embargo, aparte de $1$$-1$, todas las otras raíces de la unidad se producen en el complejo conjugado de pares y cada par conjugado contribuye $1$ para el factor determinante. Por lo tanto $\phi(s) = 1 \times -1 = -1$, según se requiera.