Integral de la $\int_0^1\frac{x^{42}}{\sqrt{x^4-x^2+1}}\operatorname d \!x$

Question

Podría por favor ayudarme con esta integral? $$\int_0^1\frac{x^{42}}{\sqrt{x^4-x^2+1}} \operatorname d \!x$$

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Actualización: user153012 publicado un resultado dado por un equipo que contiene miedo Appel función, y Cleo dio mucho más sencillo formas cerradas para potencias $n=42,\,43$. Estoy buscando una manera de probar dichos formularios. También me gustaría encontrar un resultado general que haría el trabajo entero arbitrario, poderes, no sólo a $42$.

Answer 1

Extraño caso: El cambio de las variables de $x^2=t$ transforma la integral en $$\mathcal{I}_{2n+1}=\int_0^1\frac{x^{2n+1}dx}{\sqrt{x^4-x^2+1}}=\frac12\int_0^1\frac{t^ndt}{\sqrt{t^2-t+1}}$$ Profundizar en el cambio de las variables de $t=\frac12+\frac{\sqrt3}{4}\left(s-\frac1s\right)$ permite escribir $t^2-t+1=\frac3{16}\left(s+\frac1s\right)^2$ y por lo tanto da una integral de una simple función racional de $s$: $$\mathcal{I}_{2n+1}=\frac12\int_{1/\sqrt3}^{\sqrt3}\left[\frac12+\frac{\sqrt3}{4}\left(s-\frac1s\right)\right]^n\frac{ds}{s}.$$

Incluso en el caso de: A desmitificar el resultado de Cleo, vamos a presentar $$\mathcal{K}_n=\mathcal{I}_{2n}=\int_0^1\frac{x^{2n}dx}{\sqrt{x^4-x^2+1}}=\frac12\int_0^1\frac{t^{n-\frac12}dt}{\sqrt{t^2-t+1}}.$$ Tenga en cuenta que $$\mathcal{K}_{n+1}-\frac12\mathcal{K}_n=\frac12\int_0^1 t^{n-\frac12}d\left(\sqrt{t^2-t+1}\,\right)=\frac12-\left(n-\frac12\right)\left(\mathcal{K}_{n+1}-\mathcal{K}_{n}+\mathcal{K}_{n-1}\right),$$ donde la segunda igualdad se obtiene por integración por partes. Esto da una relación de recursividad $$\left(n+\frac12\right)\mathcal{K}_{n+1}=n\mathcal{K}_{n}-\left(n-\frac12\right)\mathcal{K}_{n-1}+\frac12,\qquad n\geq1.$$ Ahora es suficiente para mostrar que \begin{align*} \mathcal{K}_0&=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x^4-x^2+1}}=\frac12\mathbf{K}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right),\\ \mathcal{K}_1&=\int_0^1\frac{x^2dx}{\sqrt{x^4-x^2+1}}= \frac12\mathbf{K}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)-\mathbf{E}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)+\frac12. \end{align*}

Answer 2

$$\int_0^1\frac{x^{42}}{\sqrt{x^4-x^2+1}}dx=\frac{250\,351\,656\,060\,403}{1\,955\,894\,551\,246\,350}\\-\frac{25\,556\,904\,389\,521}{391\,178\,910\,249\,270}{\bf K}\left(\frac{\sqrt3}2\right)+\frac{29\,595\,166\,842\,073}{977\,947\,275\,623\,175}{\bf E}\left(\frac{\sqrt3}2\right),$$

donde ${\bf K}(x)$ ${\bf E}(x)$ están completas las integrales elípticas de la $1^{st}$ $2^{nd}$ tipo.

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Quizás también te interese saber que $$\int_0^1\frac{x^{43}}{\sqrt{x^4-x^2+1}}dx=\frac{10\,495\,168\,793\,593}{86\,586\,540\,687\,360}-\frac{98\,084\,055\,671}{1\,099\,511\,627\,776}\ln3.$$

Answer 3

Mathematica y Maple podría resolver esta integral, en términos de las integrales elípticas. Cleo respuesta es una simplificación de ellos.

Si usted prefiere no hay otra forma cerrada en el plazo de Appell $F_1$ función.

$$I(a,n)=\int_0^1\frac{x^{a}}{\sqrt[n]{x^4-x^2+1}}\,dx = \frac{1}{1+a} F_1\left(\frac{1+a}{2},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{3+a}{2},(-1)^{1/3},-(-1)^{2/3}\right),$$ donde $\Re(a)>-1.$

Su caso es $I(42,2)$.