extensión cuadrática de $\mathbb{Q}(X)$

Question

Considere el anillo $\mathbb{Q}[X]$ de polinomios en $X$ con coeficientes en el campo de los números racionales. Consideremos el campo cociente $\mathbb{Q}(X)$ y que $K$ sea una extensión cuadrática de $\mathbb{Q}(X)$ dado por $K:=\mathbb{Q}(X)[d]$ .

Dejemos que $O_{K}$ sea el cierre integral de $\mathbb Q[X]$ en $K$ . Ciertamente $O_{K}$ contiene tanto $\mathbb{Q}[X]$ y $d$ Por lo tanto $$ O_{K}\supseteq \mathbb{Q}[X][d].$$ ¿Crees que la inclusión anterior es estricta, o la igualdad se mantiene?

EDITAR. La conclusión $O_{K}\supseteq \mathbb{Q}[X][d]$ es falso. Así que la pregunta es: ¿quién es $O_{K}$ ?

Answer 1

Usted escribe: "Ciertamente $O_{K}$ contiene tanto $\mathbb{Q}[X]$ y $d$ Por lo tanto $ O_{K}\supseteq \mathbb{Q}[X][d]$ "

Pero esto no es cierto:
Toma $d=\sqrt \frac {1}{X}$ , una raíz ot $T^2-\frac {1}{X}\in \mathbb Q(X)[T]$ .
Entonces $d$ no es integral sobre $\mathbb Q[X]$ porque si lo fuera, entonces también $d^2=\frac {1}{X}$ sería integral sobre $\mathbb Q[X]$ y ambos sabemos muy bien que esto es absurdo.
Así que, $d\notin O_K$ y por lo tanto $ O_{K}\supseteq \mathbb{Q}[X][d]$ no se sostiene.

Editar
En cuanto al cálculo de $O_K$ Aquí hay un resultado que puede ser de ayuda: se da como Teorema 9.2 (página 65) en la obra de Matsumura Teoría de los anillos conmutativos .

Teorema
Dejemos que $A$ sea un dominio integralmente cerrado y $K$ una extensión algebraica de su campo de fracción $F=Frac(A)$ .
Entonces un elemento $k\in K$ es integral sobre $A$ si su polinomio mínimo sobre $F$ el polinomio mónico $f(T)=Irr(k,F,T)\in F[T]$ tiene sus coeficientes en $A$ .

En su caso, si supone por ejemplo que $d=\sqrt {P(X)}$ con $P(X)\in \mathbb Q|X]$ un polinomio libre de cuadrados, el teorema anterior te permitirá demostrar que $O_K$ es el anillo $\mathbb Q[X][d]$ (detalles en Matsumura).
(La clase de ejemplos anterior generaliza el resultado de su pregunta anterior pero no resuelve completamente el problema de calcular $O_K$ para extensiones cuadráticas generales $K$ de $\mathbb Q(X)$ ).