Prueba

Question

Sea$A$ y$B$ dos eventos de un espacio de probabilidad. Pruebalo $\displaystyle|P(A\cap B)-P(A)P(B)|\leq \frac{1}4$

Creo que es un problema muy desafiante, y no he progresado hasta ahora ...

Alguien me puede dar una pista ?

Answer 1

Ya que$P(A)\ge P(A\cap B)$ y$P(B)\ge P(A\cap B)$ tienes ese$$P(A)P(B)\ge P(A\cap B)^2$$ which gives $$P(A\cap B)-P(A)P(B)\le P(A\cap B)-P(A\cap B)^2=P(A\cap B)(1-P(A\cap B))$$ Now for $ p: = P (A \ cap B)$, the right hand side is equal to $ $f(p)=p(1-p)$$ for $ p \ in [0,1]$. This function is a quadratic function that attains it's maximum in the midpoint between it's roots ($ p = 0$ and $ p = 1$), that is at $ p = 1/2 $.

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Ahora el otro lado sigue desde el primer lado, si usa ese$P(A\cap B)+P(A\cap B')=P(A)$ o equivalente$$P(A\cap B)=P(A)-P(A\cap B')$$ which gives you that $$P(A)P(B)-P(A\cap B)=P(A)P(B)-P(A)+P(A\cap B')=P(A\cap B')-P(A)P(B')$$ where the right hand side is $ \ le \ dfrac {1} {4 }$ due to first inequality we proved above (since the above inequality holds for every $ A, B$, it holds also for $ B '$ in place of $ B $). Esto te da también el otro lado.

Answer 2

Llamemos a$\;P(A)=x\;$,$\;P(B)=y\;$, y supongamos$x\le y$.
Tenemos

$$ \ max \ {0, x + y-1 \} \ le P (A \ cap B) \ le \ min \ {x, y \} = x $$ Entonces, si$\;P(A\cap B)\ge xy\;$, tenemos $$ | P (A \ cap B) -xy | = P (A \ cap B) -xy \ le x-xy \ le xx ^ 2 \ le \ frac {1} {4} $$

Por otro lado, si$\;P(A\cap B)\le xy\;$, y$\;x+y\le 1\;$, $$ | P (A \ cap B) -xy | = xy-P (A \ cap B) \ le xy \ le x (1 -x) \ le \ frac {1} {4} $$

El último caso es$\;P(A\cap B)\le xy\;$, y$\;x+y\ge 1\;$, $$ | P (A \ cap B) -xy | = xy-P (A \ cap B) \ le xy-x-y +1 = (1-x) (1-y) \ le x (1-x) \ le \ frac {1} {4} $$