¿Es HHH un criterio de congresión para los triángulos?

Question

Quería saber si un triángulo definido por sus 3 alturas es único. Tomé esto como un desafío, pero no pude llegar a ninguna parte, ¿puede alguien ayudarme? :)

Answer 1

Sí. Usa SSS para construir el triángulo con lados$\frac1{h_a}$,$\frac1{h_b}$,$\frac1{h_c}$. Luego, en este triángulo, las alturas son proportinales a las alturas dadas. Escala en consecuencia.

Answer 2

Es.

Estamos dado cualquier triángulo con alturas $h_a, h_b, h_c$, y asumimos sus lados a ser $a,b,c$. Para probar que es el único triángulo, se nota que por la zona de fórmulas: $$a=\frac{2\triangle}{h_a}, b=\frac{2\triangle}{h_b}, c=\frac{2\triangle}{h_c}$$

Ahora usamos el hecho de que si un triángulo con lados de $a,b,c$ área $K$, entonces el área del triángulo con lados de $ma,mb,mc$ tiene el área de $Km^2$ (¿por qué?).

Introducimos la notación que $[a,b,c]$ significa que el área del triángulo con lados de $a,b,c$. Así que el hecho anterior puede ser escrita como $[ma,mb,mc]=m^2[a,b,c]$ por Lo tanto, el triángulo con lados de $a,b,c$ tiene el área de $\triangle$, entonces:

$$ \triángulo=[a,b,c] \\ = [\frac{2\triángulo}{h_a}, \frac{2\triángulo}{h_a}, \frac{2\triángulo}{h_a}] \\ =4\triángulo ^2 [\frac1{h_a},\frac1{h_b},\frac1{h_c}] $$

Por lo tanto $\triangle=\triangle^2 \times4[\frac1{h_a},\frac1{h_b},\frac1{h_c}]$, o : $$\triangle =\frac1{4[\frac1{h_a},\frac1{h_b},\frac1{h_c}]}$$

Por lo tanto, hemos demostrado que la zona se puede deducir sólo desde las alturas independiente de los lados. Pero ahora que tenemos la zona y las alturas, los lados son triviales para obtener el área de fórmulas. Esto demuestra que el triángulo es la única, por la SSS criterios.

Además, ahora tenemos un método para obtener de los lados del triángulo y los ángulos, ... seguir!