¿Qué Gráficos finitos$G$ tienen la propiedad de que para todos$v,w\in G$, hay exactamente un automorphism$\phi$$G$% with$\phi(v)=w$? Por supuesto, cada uno de los tres gráficos con uno o dos vértices tienen esta propiedad, pero ¿hay otros ejemplos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si una gráfica tiene la propiedad declaró que es una gráfica de regular la representación (abreviado GRR) de su automorphism grupo. No hay caracterización de estos gráficos es conocida, o al menos ninguno que es más simple que el de la definición. Tenga en cuenta que cualquier gráfico es necesariamente un grafo de Cayley para su automorphism grupo (como fue observado por primera vez por Sabidussi.) La cuestión ha sido estudiada es, dado un grupo de $\Gamma$, existe un grafo de Cayley $G$ $\Gamma$ tal que $\Gamma$ es el total de automorphism grupo. Para cortar el cuento largo, muy corto, si $\Gamma$ ha pedido en menos de 32 y no es ni abelian con exponente mayor de dos ni generalizada dicyclic, no admitir GRR. (De Google para generalizada dicyclic, la propiedad clave es que el "malo" de grupos de admitir un no-identidad automorphism que corrige o invierte cada elemento de a $\Gamma$.)
En la práctica, si el grupo es grande y no está mal, la mayoría de los grafos de Cayley para que se GRRs.
Si $G$ es el grafo de Cayley de a $\Gamma$ con conexión de $C$ y hay una falta de identidad automorphism $\psi$ $\Gamma$ que corrige $C$ como un conjunto, entonces el automorphism grupo de $G$ no es regular. (Esto no es difícil de demostrar.) Hay clases de grupos para que el contrario también es cierto, por ejemplo, $\mathbb{Z}_2^d$, y así que estos grupos pueden ser utilizados para encontrar ejemplos reales.
