Conjunto de potencia de cualquier conjunto.

Question

Pregunta:

Deje $A$ ser cualquier conjunto. Deje $\mathbb{P}(A)$ ser el juego de poder de $A$. Entonces cuál es la verdadera?

1. $\mathbb{P}(A)=\emptyset$ algunos $A$.

2. $\mathbb{P}(A)$ es finito para algunos $A$.

3. $\mathbb{P}(A)$ es contable para algunos $A$.

4. $\mathbb{P}(A)$ es incontable para algunos $A$.

Ahora 1. no es cierto, ya que si $A=\emptyset$, $\mathbb{P}(A)=\{\emptyset\}\neq \emptyset$. 3. no es cierto, ya vamos a $A=\mathbb{N}$, $\mathbb{P}(A)=2^\mathbb{N}$ es incontable. Así que la respuesta será 2 y 4.

Pero cuando vi el libro de respuestas, se dice que la respuesta es (2,4) o (2,3,4). Que o es la respuesta no está decidido todavía.

Mi pregunta es ¿por qué la duda!!! La respuesta debería ser $(2,4)$.... esto es obvio, ¿no? Yo soy muy malo en conjunto theoritic argumentos. Alguien puede aclararlo?

Answer 1

Una contables set es un conjunto de cardinalidad es en la mayoría de las $\aleph_0$, el cardenal de $\mathbb{N}$. En particular, todo conjunto finito es contable. Así, desde la $2$ es cierto, también lo es $3$: tomar un conjunto finito $A$, $\mathcal{P}(A)$ es finito, por lo tanto $2$ es cierto) y por lo tanto contables (por lo tanto, $3$ es la verdad).

Su argumento 1 es un poco off. El juego de poder de $\emptyset$$\{\emptyset\}$, no $\{\{\emptyset\}\}$.

Editar:

Como R. Suwalski señaló, contables puede decir de cardinalidad $\aleph_0$. Así que si ese es el caso, entonces no hay ningún $A$ tal que $\text{card}{\mathcal{P}(A)}=\aleph_0$. De hecho, por la contradicción, tenemos según el Cantor del teorema, $\text{card}A<\text{card}\mathcal{P}(A)=\aleph_0$. Por lo tanto $A$ es finito y por lo tanto también lo es $\mathcal{P}(A)$, contradicción.

Answer 2

Suponiendo que contable significa "contable infinito" (por lo que los conjuntos finitos no se consideran contables), 3 es falso. Si$A$ es finito, entonces$\mathbb{P}(A)$ es finito. Si$A$ es infinito, contiene un subconjunto contable infinito$B$ (forma suave de elección utilizada aquí). Y luego$2^{\mathbb{N}} = |\mathbb{P}(B)| \ge |\mathbb{P}(A)|$ para que$\mathbb{P}(A)$ sea incontable. Así que un set de poder no puede ser contable.

Answer 3

Hay dos convenciones sobre el significado de la palabra "contables" que conducen a respuestas diferentes en el tercer caso.

Algunos usan "contables" como un adjetivo que se refiere específicamente a los conjuntos con la misma cardinalidad de los números naturales. Con este uso, instrucción 3 sería falso, ya que no se dispone de un juego de poder con la misma cardinalidad como el número natural.

Algunos usan "contables" como un adjetivo que se refiere a los conjuntos cuya cardinalidad es igual o inferior a los números naturales. Con este uso, instrucción 3 sería cierto, ya que cada conjunto finito es contable, y cualquier conjunto finito tiene poder finito conjunto.

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Creo que originalmente, la palabra "contables" se utilizó para la segunda convención; la intuición detrás de este nombre es que son conjuntos usted puede contar con números naturales. Si uno quería específicamente se refieren a los conjuntos de donde había que agotar los números naturales, se podría utilizar la frase "countably infinito".

Y, en algunos contextos, usted realmente desea un adjetivo que se refiere tanto al caso de finito de conjuntos y conjuntos con la misma cardinalidad como los naturales.

Pero algunos contextos hablan sólo de conjuntos infinitos, por lo tanto los convenios "contables" únicamente se refiere a los conjuntos con la misma cardinalidad como los naturales.

En otros contextos, el golfo entre finito e infinito cardenales es que tener una palabra que agrupa la cardinalidad de los números naturales finitos cardinalidades no es útil. De manera que el término "contables" solo se usa en la frase "countably infinito", y el último término se llegó acortado a simplemente "contable".

Answer 4

Su respuesta a 1 es un poco off. Esto demuestra que el conjunto vacío no puede ser una A, pero esto no prueba que no hay A. Para que, supongamos que existe un tal que 2^a es vacío. El conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos, por lo que es un subconjunto de a, por lo que es un miembro de la 2^a, de modo que 2^a es no vacío, una contradicción. O más brevemente: el conjunto vacío es un miembro de todos los powersets, por lo que no powerset puede ser el conjunto vacío.

Su argumento en contra de la 3 es un poco off, en una manera similar. La proposición es que la afirmación es verdadera para ALGUNOS de A. entonces Tú dices: mira, esto no es verdadero para este particular A. Pero, entonces, ¿qué, no podría ser otro que Un por que ES verdad! Si la proposición había sido para TODOS, entonces sí, un contraejemplo es suficiente. Pero aquí sólo las reivindicaciones de ALGUNOS (y sólo uno).