Eligiendo 3 roles de 10 concursantes

Question

La pregunta es: Para una asociación, un presidente, un vicepresidente y un secretario, todos diferentes, han de ser elegidos a partir de 10 participantes. Cuántas opciones diferentes son posibles si Ramu y Ravi no asociarse?

La respuesta siempre es: Sin Ramu y Ravi, el número de opciones es $8 \times 7 \times 6$ y con uno de ellos en la asociación, el número de opciones es $3 \times 2 \times 8 \times 7$. Por lo que el número total de opciones: $(8 \times 7 \times 6) + (3 \times 2 \times 8 \times 7) = 672$.

Mi respuesta es: El caso 1, en Tanto Ramu y Ravi no son elegidos: 8P3 = 336

Caso 2, Ramu o Ravi no se elige: $(8 \times 7 \times 3!) \times 2 = 672$

El Total de opciones diferentes: $672 + 336 = 1008$

¿Por qué no debería multiplicar por 2? Mi proceso de pensamiento es... $(8 \times 7 \times 3!)$ sólo toma en cuenta que si uno de ellos, dicen Ramu, fue el elegido. Pero Ravi también puede ser escogido y me tienen que tomar el caso en cuenta también?

Si alguien me explicara por qué yo no debería multiplicar por 2... eso sería genial, gracias!

Answer 1

No es el% final$\times 2$ lo que está mal, es el$8\times 7\times 3!$, que debería ser$8\times 7\times 3$. Una vez que elija qué posición es Ramu / Ravi ($3$ opciones), hay${}^8P_2=8\times 7$ para elegir personas para las otras dos posiciones en orden.

Answer 2

Hay$8\times 7$ soluciones con el presidente de Ramu. Lo mismo para vicepresidente, lo mismo para secretario. Repita con Ravi y obtendrá el$6 \times 8\times 7$.

Answer 3

Exactamente uno de Ramu o Ravi es seleccionado: debemos seleccionar Ramu o Ravi, seleccione dos de las otras ocho personas, a continuación, asignar las posiciones a las tres personas seleccionadas.

$$\binom{2}{1}\binom{8}{2}3!$$

¿Por qué no debería multiplicar por $2$? Mi proceso de pensamiento es... $(8 \times 7 \times 3!)$ sólo toma en cuenta que si uno de ellos, dicen Ramu, fue el elegido. Pero Ravi también puede ser elegido y tengo que tomar el caso en cuenta también?

El factor de $2$ en su cálculo se refiere a la elección entre Ramu y Ravi. El factor de $3!$ es el número de maneras en que podemos asignar a las tres personas que hemos seleccionado para las posiciones disponibles. En la multiplicación de $8$$7$, usted cuenta con todo ordenado selecciones de dos de las otras ocho personas. Sin embargo, si las posiciones no han sido asignados, la elección de Madhuri y Juhi para servir con Ramu tiene el mismo efecto que la elección de Juhi y Madhuri para servir con Ramu. Por lo tanto, el número de distinguir formas de elegir a dos de los otros ocho personas para servir con Ramu (o Ravi) es $$\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2}$$