Encontrar el valor de $f'(0)$

Question

Si $f$ es una función cuadrática tal que $f(0)=1$ y $$\int\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}dx$$ es una función racional, ¿cómo podemos encontrar el valor de $f'(0)$ ? No tengo ni idea de esto. ¿Algún consejo sobre cómo empezar? Si desea dar detalles, entonces muchas gracias a usted.

Answer 1

Dejemos que $f(x) = ax^2 + bx + c.$ Como $f(0) = 1,$ tenemos que $f(x) = ax^2 + bx + 1.$ Entonces $$I=\int \frac{f(x) dx}{x^2(x+1)^3} = \int \frac{a}{(x+1)^3}+\frac{b}{x(x+1)^3}+\frac{1}{x^2(x+1)^3}\,dx \\\stackrel{Partial Fractions}{=} -\frac 1x + \frac{b-a-1}{2 (1 + x)^2} + \frac{-2 + b}{1 + x} + (b-3)\log(x) - (b-3)\log(1 + x) + C.$$ Como la función debe ser racional, debemos tener $b=3,$ que lleva $f'(0) = \left.2ax+b\right|_{x=0} = \boxed{3}$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$${f(x)\over x^2(x+1)^3}={xf(x)\over(x^2+x)^3}$$

Dejemos que $u=x^2+x$ . Supongamos que

$$xf(x)=u{du\over dx}=u(2x+1)=(x^2+x)(2x+1)=2x^3+3x^2+x=x(2x^2+3x+1)$$

Entonces

$$\int{f(x)\over x^2(x+1)^3}dx=\int{xf(x)\over(x^2+x)^3}dx=\int{udu\over u^3}=\int{du\over u^2}=-{1\over u}+C=-{1\over(x^2+x)}+C$$

es una función racional. Así que $f(x)=2x^2+3x+1$ hace el truco, y $f'(0)=3$ .