Suma de elementos de un conjunto donde$\gcd(p,q)=1$

Question

¿Hay una fórmula para la suma de los elementos del conjunto $ N (q) = \ {p \ mid \ gcd (p, q) = 1, p <q \} $?

Answer 1

Sabemos que hay $\phi(q)$ enteros positivos $a<q$ tal que $(a,q)=1$

donde $\phi(q)$ de Euler totient función

Para $q\ge3$ sabemos $\phi(q)$ es incluso.

Si $1\le a\le \lfloor \frac q2\rfloor$ $(a,q)=1$

$(q-a,q)=(a,q)=1$

Por lo tanto, tenemos $\frac{\phi(q)}2$ pares de números de $a$ $q-a$ cuya suma es $q$

Así, la suma es $\frac{q\phi(q)}2$ $q\ge3$

Answer 2

Sugerencia $\ $ Uso de Gauss, famoso grado de la escuela truco, emparejamiento de términos en todo el centro, señalando que $\rm\: (k,q)\equiv 1\iff (q\!-\!k,q) = 1,\:$ omitiendo $\rm\color{tan}{terms}$ no comprime a $\rm\,q,\:$ por ejemplo, para $\rm\,q=15$

$$\begin{array}{l} \begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 2 & \color{tan}3 & 4 & \color{tan}5 & \color{tan}6 & 7 \\ 14 & 13 & \color{tan}{12} & 11 & \color{tan}{10} & \color{tan}9 & 8 \\ \hline 15 & 15 & & 15 & & & 15 \end{de la matriz} \\ \rm\ \ sum\, =\, 15\cdot 4\, =\, 15\cdot \phi(15)/2 \end{array}$$

Comentario $\ $ Este truco de emparejar a las reflexiones en torno al valor medio es un caso especial de la explotación innata de la simetría aquí una reflexión o involución. Aquí lo que hacemos básicamente es aprovechar la simetría de reflexión que surgen de la negación $\rm\ k\to -k\equiv q\!-\!k\,\ (mod\ q),\:$ después de señalar que la reflexión restringe a las unidades (invertibles) $\rm\:mod\ q.\:$ Tal simetría aplicaciones son omnipresentes en la teoría de números y álgebra, por ejemplo, ver estas publicaciones acerca del Teorema de Wilson y su grupo de teoría de la generalización.