Supongamos que$X_1$ y$X_2$ sean dos submanifolds orientados de forma compacta$n$ - de una variedad ambiental$X$. ¿Existen condiciones verificables que garanticen que$[X_1]=[X_2]$ en$H_n(X)$? Esta pregunta me vino a la mente cuando estaba pensando en los axiomas de las clases de chern. Uno tiene el axioma de normalización que concierne a la clase de homología de algún hiperplano en$\mathbf{CP}^n$. Para que esto tenga sentido, uno tiene que demostrar que dos hiperplanos están en la misma clase de homología.
Respuestas
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ghostwhistler
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Qiaochu la respuesta ya es suficiente para ver por qué las líneas en $\Bbb{CP}^n$ son homólogos, pero he aquí una más débil caracterización de mayor generalidad:
La inclusión de mapas de $X_1, X_2$ $X$ homotópica es una condición suficiente para $X_1, X_2$ a ser homóloga, pero considerablemente más débiles cosa a comprobar es que el $X_1$ $X_2$ "cobordant dentro de $X$".
Es decir, hay un $(n+1)$-dimensiones del colector $M$ $\partial M = X_1 \sqcup X_2$ y un mapa de la $f : M \to X$ tal que $f|_{\partial M}$ es la inclusión de $X_1$ $X_2$ en cada uno de los componentes. A veces $f$ será una incrustación de objetos (por ejemplo, el límite del par de pantalones dentro de las 2-toro). Al $X_1$ $X_2$ son homeomórficos y $M = X_1 \times [0, 1]$ este es el homotopy condición Qiaochu mencionado.
Una condición suficiente que trabaja en el caso de $\mathbb{CP}^n$ es que el $X_1$ puede ser enviado a $X_2$ por un camino de homeomorphisms, desde cualquier familia necesariamente actos trivialmente en la homología. Para $\mathbb{CP}^n$ y hyperplanes este camino puede ser llevado a ser un camino de $PGL_{n+1}(\mathbb{C})$.
Por cierto, no es necesario exigir que $X$ es un colector o que $X_1$ $X_2$ son submanifolds (arbitrario mapas de $X_1, X_2$ en cualquier espacio topológico $X$ ya producen clases fundamentales en la homología de $X$).
