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Question

\begin{cases} a_1=\sqrt 3 \\ a_2 = \sqrt {3\sqrt 3}\\ a_n = \sqrt {3a_{n-1}} \quad \text{for } n\in\mathbb Z^+\end{casos}

Esta secuencia está limitada arriba por$3$ y aumenta monótonamente, por lo tanto, mediante el teorema de la secuencia limitada monotono, la secuencia converge.

Pero, la pregunta pide encontrar$\lim_\limits{n \to \infty } a_n$. Supongo que el límite es$3$, pero no sé cómo probarlo.

¿Podrías dar alguna pista? Gracias de antemano.

Answer 1

PS

Ahora $$a_n=3^{1/2+1/4+\cdots+1/2^n}$

$S(n)=\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2^n}=\dfrac12\left(\dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^n}{1-\dfrac12}\right)$

Answer 2

Insinuación

Si$\ell$ es el límite, entonces$$\ell=\sqrt{3\ell}.$ $

Answer 3

Supongamos que$a_n\to l$ para$n\to \infty$. Luego también$a_{n+1}\to l$ porque$n+1\sim n$ como$n\to\infty$. Entonces$$\lim a_n=\lim a_{n+1}=\lim3\sqrt{a_n}\implies l=3\sqrt{l}$ $

Answer 4

Supongamos que$a$ es el límite. Entonces:

PS

Puedes escribir eso:

PS

Esto significa que:

PS

De todos modos, no sabemos si esta secuencia convergerá al límite$$a = \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\ldots}}}}.$.

Para este objetivo, note que:

PS

Para$$a = \sqrt{3a}.$, obtenemos que el valor de este derivado es$$a = \sqrt{3}\sqrt{a} \Rightarrow \sqrt{a} = \sqrt{3} \Rightarrow a = 3.$ que está en un módulo menor que$a$. Entonces, la secuencia converge a$$\frac{\partial a_{n}}{\partial a_{n-1}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{a_{n-1}}}.$.

Answer 5

Establecer$b_n := \ln a_n$:

• $b_1 = \frac{1}{2}\ln 3$
• $b_{n} = \frac{1}{2}\ln{(3a_{n-1})} = \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{2}\ln a_{n-1} = \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{2}b_{n-1}$
• $\Rightarrow b_n = \left(\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{2^n} \right)\ln 3= \left(1- \frac{1}{2^n} \right)\ln 3 \stackrel{n \rightarrow \infty}{\rightarrow}\ln 3$
• $a_n = e^{b_n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} e^{\ln 3} = 3$