Una pregunta estúpida sobre el grupo$O(3)$

Question

Tengo una pregunta estúpida sobre el grupo$O(3)$.

¿Es cierto que$SO(3,R)=O(3,R)/Z_{2}$?

Muchas gracias.

Answer 1

Sí. Como Chispa menciona, el subgrupo $N = \{\pm I\}$ es normal en $O(3,\mathbb{R})$, es isomorfo a $Z_2$, y $$O(3,\mathbb{R}) / N \,\cong\, por LO que(3,\mathbb{R}).$$ De hecho, $O(3,\mathbb{R})$ es la interna, producto directo de la $SO(3,\mathbb{R})$$N$, por lo que $$O(3,\mathbb{R}) \,\cong\, por LO que(3,\mathbb{R}) \times Z_2.$$ En general, $SO(n,\mathbb{R})$ es un cociente de $O(n,\mathbb{R})$ si y sólo si $n$ es impar. Específicamente, el argumento anterior sólo funciona para valores impares de $n$ desde $-I \in SO(n,\mathbb{R})$ al $n$ es incluso. Además, un subgrupo normal de orden dos en un grupo de $G$ debe estar contenido en el centro, y el centro de $O(n,\mathbb{R})$$\{I,-I\}$, por lo que si $\{I,-I\}$ no funciona, entonces nada lo hará.