Si ambos
$$t^2-1=4p \tag{1}$$
$$s=4p+t+1 \tag{2}$$
mantenga. Podemos deducir:
Proposición 1. $t$-impar.
Fácil de ver de $(1) \Rightarrow t^2=4p+1$.
Proposición 2. Si $t=2k+1$
$$k(k+1)=\varphi(2k+1)\varphi(k+1)=p$$
Dado $\gcd(t,t+1)=1$ e $\varphi(n)$ es multiplicativo, lo que significa que
$$p=\varphi\left(\frac{t(t+1)}{2}\right)=\varphi\left(t\right)\varphi\left(\frac{t+1}{2}\right)$$
a continuación, $(1)$ se convierte en
$$t^2=4\varphi\left(t\right)\varphi\left(\frac{t+1}{2}\right)+1 \tag{3}$$
La sustitución de
$$k(k+1)=\varphi(2k+1)\varphi(k+1)$$
Proposición 3. $t$-es la plaza libre
Si $q$-prime tiene la propiedad de que $q^2 \mid t \Rightarrow q \mid \varphi(t)$. Pero entonces, de $(3) \Rightarrow q \mid 1$ - contradicción.
Proposición 4. $\frac{t(t+1)}{2}$ es un número perfecto.
I. e. $t+1=s-4p$
y
$$(t-1)(t+1)=4p \iff (t-1)(s-4p)=4p \ffi t(s-4p)-s+4p=4p \ffi \\
t=\frac{s}{s-4p}$$
Pero $t$-es impar (proposiciones 1 y 2)
$$2k+1=\frac{s}{s-4k(k+1)} \iff
2k=\frac{4k(k+1)}{s-4k(k+1)} \ffi \\
s-4k(k+1)=2(k+1) \ffi s=4k(k+1)+2(k+1)=2(k+1)(2k+1)$$
o
$$s=\sigma\left(\frac{t(t+1)}{2}\right)=2\cdot\frac{t(t+1)}{2}$$
Proposición 5. $t$ es una de Mersenne prime.
A partir de la Proposición 1 y 3 $t$ es impar y plaza libre, es decir, su primer factorización es $t=q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_r, q_i>2, q_i\ne q_j, i\ne j$. $\sigma(n)$ es multiplicativo y $\gcd(t,t+1)=1$, con lo que
$$\sigma\left(\frac{t(t+1)}{2}\right)=\sigma(t)\sigma\left(\frac{t+1}{2}\right)=
\sigma\left(\frac{t+1}{2}\right)\prod\limits_{i=1}^r(q_i+1)=2^r\cdot P$$
- si $r\geq 2$, de $(2)$, $4 \mid (t+1)$ y (por la proposición 4) $\frac{t(t+1)}{2}$ es incluso número perfecto, por lo tanto $t$ es de Mersenne prime.
- si $r=1$, $t$- es el primer y $\varphi(t)=t-1=2k$ y a partir de la proposición 2
$$k(k+1)=\varphi(2k+1)\varphi(k+1)=2k\varphi(k+1) \Rightarrow 2\mid k+1=\frac{t+1}{2}$$
y (por la proposición 4) $\frac{t(t+1)}{2}$ es incluso número perfecto, por lo tanto $t$ es de Mersenne prime.
Hecho. Podría ser más difícil (si no imposible) para deducir de este individuo $(1)$ o $(2)$.
Comentario: Este libro, página 72, tiene una corta prueba de
Teorema 1.51. Incluso un entero positivo $n$ es perfecto si y sólo si
$n = 2^{k−1}M_k$ para algún entero positivo $k$ que $M_k$
(Mersenne número) es una de las principales.
