¿Qué es inverso de$I+A$?

Question

Supongamos que$A$ es una matriz invertible cuadrada y tenemos$A^{-1}$. Si sabemos que$I+A$ también es invertible, ¿tenemos una forma cercana para$(I+A)^{-1}$ en términos de$A^{-1}$ y$A$?

¿Lo hace más fácil si sabemos que la suma de todas las filas es igual?

Answer 1

Si la serie $S = I - A + A^2 - A^3 + \dotsb$ converge, expanda $S(I + A)$ encontrar que es igual a la identidad. Ver aquí para más detalles en al $S$ converge.

$S$ claramente converge si $A^k = 0$ para algún entero positivo $k$ (nilpotency).

Como para invertibility, si $A$ es diagonalizable, es decir, $A = PDP^{-1}$ para algunos matriz diagonal $D = \operatorname{diag}(e_1, e_2, \dotsc, e_n)$, luego por Sylvester Determinante Teorema, $$ \det(I + (PD)P^{-1}) = \det(P^{-1}(EP) + I) = \prod_{i = 1}^n(e_i + 1) $$

Por lo tanto, $I + A$ es invertible si no autovalor $e_i$ tiene un valor de $-1$.

Si $A$ es nilpotent, luego de que su único autovalor es $0$, lo $I + A$ es invertible.

Hay una forma cerrada de la solución?

Yo creo que no. Básicamente, una forma cerrada de la expresión de $(I + A)^{-1}$ $A$ $A^{-1}$ equivaldría a una forma cerrada de la expresión de $(1 + x)^{-1}$ $x$ $x^{-1}$ donde $x$ es real (o complejo). Un semi-riguroso articulación de este argumento de la siguiente manera:

La proposición: No existe ninguna familia de matrices de $\{X_{ij}\}_{m \times n}$, donde cada $X_{ij}$ es igual a $A$, $A^{-1}$ o una constante que depende de la dimensión de $A$, de tal manera que $(I + A)^{-1} = \sum_{i = 1}^m(\prod_{j = 1}^nX_{ij})$ para todos los valores de $A$.

Prueba:

Suponga que existe una familia. Deje $A$ $1 \times 1$ matriz $x$. Tenga en cuenta que $\sum_{i = 1}^m(\prod_{j = 1}^nX_{ij})$ es un polinomio $P(x)$, lo que aparentemente es igual a $(1 + x)^{-1}$ para todos los valores de $x$. Por lo tanto, $P(x)$ debe ser la serie de taylor $1 - x + x^2 - x^3 + \dotsb$, lo que contradice el hecho de que $P(x)$ tiene un número finito de términos.

Answer 2

Compruebe esta pregunta . La primera respuesta presenta una fórmula recursiva para recuperar el inverso de una suma genérica de matrices. Así que el tuyo debería ser un caso especial.