Tensor de productos de dimensiones infinitas espacios y otros objetos

Question

Lo que acaba de ocurrir a mí que la mayoría de mi intuición para tensor de productos derivados del caso especial de finito-dimensional espacios vectoriales, entonces, me pregunto qué propiedades he dado por sentado son verdaderas en general, y los que no lo son.

1. Deje $U$ $V$ $k$- espacios vectoriales, posiblemente infinito-dimensional. ¿Sigue siendo cierto que $U^* \otimes V \cong \textrm{Hom}(U, V)$ naturalmente en $U$$V$?

2. Deje $A, B, C$ ser objetos de una abelian categoría, o mejor, un monoidal cerrado categoría. Es cierto que $\textrm{Hom}(A, B \otimes C) \cong \textrm{Hom}(A, B) \otimes \textrm{Hom}(A, C)$ naturalmente en $A, B, C$? (Motivación: $\textrm{Hom}(A, -)$ conserva (cartesiana) de los productos).

3. En el mismo contexto como el anterior, hay un bifunctor $\mathscr{F}(-, -)$ tal que $\textrm{Hom}(A, C) \otimes \textrm{Hom}(B, C) \cong \textrm{Hom}(\mathscr{F}(A, B), C)$ naturalmente en $A, B, C$? (Motivación: $\textrm{Hom}(-, C)$ mapas co-productos a los productos).

Answer 1

1. No. Como Theo dice en los comentarios, los elementos de $U^{\ast} \otimes V$ son precisamente de lo finito-rango de mapas en $\text{Hom}(U, V)$.

2. Esto no es cierto en dimensiones finitas. La dimensión de la LHS crece linealmente en $\dim A$, pero la dimensión de la RHS crece cuadráticamente en $\dim A$.

3. Esto tampoco es cierto incluso en dimensiones finitas. La dimensión de la LHS crece cuadráticamente en $\dim C$, pero la dimensión de la RHS crece linealmente en $\dim C$.

Usted parece estar bajo la impresión equivocada de que el producto tensor se supone que se comportan como un producto. No, no. De manera abstracta se trata del tensor-hom contigüidad

$$\text{Hom}(A \otimes B, C) \cong \text{Hom}(A, \text{Hom}(B, C))$$

y concretamente se trata de querer que el vector libre del espacio functor $\text{Set} \to \text{Vect}$ a (lax?) monoidal.

Trabajando con desnudo infinito-dimensional espacios vectoriales es buscar problemas. Ver topológico producto tensor de sustitutos adecuados para espacios vectoriales topológicos.