Evaluar

Question

Evaluar$$\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\right) $ $

Intenté crear algunos GP infinitos dentro de la suma, algunas manipulaciones algebraicas como agregar el primer y último término de la suma para encontrar cualquier serie emergente y también intenté escribirla en forma exponencial como$5^{2^r}=e^{2^r\ln 5}$ y también probé hacer algo de serie de poder. También intenté encontrar cualquier método utilizando integrales y sumas de Riemann, pero no pude hacerlo.

Cualquier consejo sería muy apreciado.

Answer 1

$$\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\right) $ $$$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n\left( \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\cdot \frac {5^{2^r}-1}{5^{2^r}-1}\right) $ $$$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n \left(\frac {2^r((5^{2^r}+1)-2)}{5^{2^{r+1}}-1}\right) $ $$$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n \left( \frac {2^r}{5^{2^r}-1} -\frac {2^{r+1}}{5^{2^{r+1}}-1}\right)$ $$$=\frac {1}{5-1}=\frac 14$ $