Encontrar el radio de convergencia de la serie de potencias dada.

Question

Considere la serie de potencias$\sum\limits_{n=1}^{\infty}$$a_nZ^n$, donde$a_n$ es el número de divisor de$n^{50}$. Encuentra el radio de convergencia.

Answer 1

Usa los hechos que

1. $\tau(n) \le 2\sqrt{n}$ para todos $n$
2. Para infinitos muchos$n$ (por ejemplo, potencias de$2$),$\tau(n) \ge \log_{2} n$
3. $n^{1/n} \to 1$ y$(\log n)^{1/n} \to 1$

Answer 2

Sabemos que el número de divisor de$n^{50}$ es$\tau$ ($n^{50}$) que tiende a$\infty$ como n tiende a$\infty$. Sea R el radio de convergencia, entonces$\frac{1}{R}$ =$\lim_{n\to \infty}$ sup$(a_n)^{\frac{1}{n}}$ es$\infty$, entonces R es 0. Entonces, dime, ¿tengo razón o no?