Pregunta sobre la prueba del teorema de Heine-Borel

Question

Spivak del libro en el cálculo de los colectores tiene una declaración de que no puedo comprender. Dicen que tenemos el intervalo cerrado $[a,b]\subset\mathbb{R}$ cubierto por $\mathcal{O}$ y definimos $$A=\{x \in [a,b]:[a,x] \textrm{ is covered by a finite number of subsets in }\mathcal{O}\}$$ Claramente, $A$ está acotada arriba por $b$. Decir $\alpha$ es la menor cota superior de a $A$. A continuación, $\alpha\in U$ para un conjunto abierto $U$$\mathcal{O}$. Desde $U$ es un conjunto abierto, entonces no será más cierto intervalo de puntos menor que $\alpha$$U$. Lo que no entiendo es que Spivak afirma que desde la $\alpha$ es la menor cota superior de a $A$, debe haber alguna $x$ en este intervalo (a la izquierda de $\alpha$ y el contenido en $U$) que se encuentra en $A$. Puede alguien ayudarme a entender por qué esto es cierto?

Answer 1

Dado que$\alpha$ es el límite inferior mínimo de$A$, si tomamos$\beta <\alpha$, esto significa que$\beta$ no es un límite superior de$A$, es decir, existe $x\in A$ tal que$\beta<x≤\alpha$.

Answer 2

Como consecuencia de la definición de límite inferior mínimo, dado cualquier$\varepsilon > 0$, existe$x \in A$ con$0 <\alpha - x \leq \varepsilon$. De lo contrario,$\alpha - \varepsilon$ sería un límite superior de$A$, contradiciendo el hecho de que$\alpha$ es el límite inferior mínimo.

Por apertura de$U$, elija$\varepsilon > 0$ para que$[\alpha-\varepsilon, \alpha + \varepsilon] \cap [a,b] \subset U$. Luego elija$x$ como se describe anteriormente.