Equivalencia de la definición de un conjunto futuro.

Question

Deje $(M,g)$ ser un espacio-tiempo. Digamos que $F$ es un futuro establecer si $F = I^+(S)$ algunas $S$. Estoy tratando de comprobar la equivalencia "$F$ es un futuro conjunto si y sólo si $I^+(F) \subseteq F$".

Si $F$ es un futuro establecer, a continuación, $F = I^+(S)$ implica $I^+(F) = I^+(I^+(S))\subseteq I^+(S) = F$, como quería, ya que el último inclusión es fácil de comprobar y tiene arbitrarias de conjuntos.

Puedo comprobar la otra implicación, si asumimos desde el principio que $F$ está abierto. A continuación, $S = F$ funcionaría, ya que la inclusión de $I^+(F) \subseteq F$ es dado, y la inclusión $F \subseteq I^+(F)$ es verificada por la toma de $x \in F$ y un pequeño geodésica bola centrada en $x$ $F$ (esto es posible ya que asumimos $F$ abierto); a continuación, se utiliza la exponencial mapa enviar a un timelike geodésica en el pasado de la $x$, y cualquier punto en que la curva de dar testimonio de que $x \in I^+(F)$, como quería.

No sé cómo proceder si no asumimos que $F$ está abierto desde el principio. Ayuda?

Answer 1

La equivalencia que proponemos es falsa si $F$ es no abrir. En realidad, su segunda afirmación es la verdadera definición: $F\subset M$ es un futuro establecer si $I^+(F)\subset F$. Su primera declaración claramente sólo puede ser verdad si $F$ es abierto, por $I^+(x)$ está abierto para todos los $x\in M$, y sólo en este caso puede ser equivalente a su segunda declaración. Sin embargo, existen subconjuntos $F\subset M$ que no se abra y no obstante satisfacer $I^+(F)\subset F$ - por ejemplo, tomar $$F=\{x=(x^0,\ldots,x^{n-1})\in\mathbb{R}^{1,n-1}=(\mathbb{R}^n,g=\text{diag}(-+\cdots+))\ |\ x^0\geq 0\}\ ,$$ which is clearly closed and indeed satisfies $I^+(F)\subconjunto F$. Of course, the inclusion is strict if $F$ no es abierto.