Pregunta de cálculo: Integración incorrecta$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}e^{x-e^{2x}}dx$

Question

Tengo curiosidad acerca de la evaluación de la siguiente integral$$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}e^{x-e^{2x}}dx$ $ ¿Es posible evaluarla? Esta no es mi tarea pero compartiré mi intento. Intenté la técnica estándar, integración por parte pero sin ningún éxito. Tampoco pude encontrar ninguna sustitución adecuada. La integral parece como si estuviera evaluando el valor esperado o la función de generación de momento de una distribución determinada, pero no pude encontrar ningún pdf como el integrando en mi tabla de libros de texto.

Answer 1

Sugerencia: muestre que$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{ax-e^x}~dx=\Gamma(a).~$ Luego, después de sustituir$x=2t$, diferencie dos veces con

respecto a una, y dejar$a=\dfrac12$.