El residuo en $\infty$

Question

Estoy atascado en el siguiente problema :

$\,\,\,\,$*Problema*$\quad$El residuo de una función entera en $\infty$ es $0$.

Solución: Verdadero. Esto se deduce de la definición del residuo en $\infty$ junto con el Teorema de Cauchy-Goursat. Otra forma de ver esto es tomar la expansión de Taylor para $f$ en $0$ $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ y reemplazar $z$ con $1/z$ para obtener la expansión de Laurent para $f(1/z)$ en $0$: $\displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^0a_{-n}z^n.Luego tenemos que el residuo en $\infty$ está dado por el coeficiente negativo del término $1/z$ de $$ \dfrac1{z^2}f\left(\dfrac1z\right)=\sum_{n=-\infty}^{-2}a_{-n-2}z^n, $$ que claramente es $0$.

Estoy teniendo problemas para entender las últimas líneas (en itálica) en la solución dada. ¿Alguien puede dar una explicación clara? Gracias y saludos a todos.

Answer 1

Lo que sucede es que las funciones no tienen residuos, sino que los diferenciales tienen residuos. Esto puede ser bastante confuso en una primera clase de análisis complejo. El "residuo de una función" no es invariante ante un cambio de parámetro local, pero el residuo de un diferencial sí lo es. Por esta razón, lo que usualmente se llama el "residuo en $0$ de $f(z)$" es en realidad el residuo en $0$ de $f(z)dz.

Cuando se cambia la coordenada de $z$ a $w=1/z$, el diferencial $dz$ es transformado en $-dw/w^2$, lo que explica el cambio de signo y el factor extra. Así que,

$$f(z)dz = \frac{-1}{w^2} f(1/w) dw.$$

El "residuo de $f$ en $\infty$" es el residuo en $0$ de $\frac{-1}{w^2} f(1/w) dw.