Es el totient función de $\varphi$ invertible?

Question

Como el título, es el totient función de $\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ invertible?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\varphi(1)=\varphi(2)$. Más generalmente, $\varphi(2n)=\varphi(n)$ si $n$ es impar.

Por lo que el $\varphi$-la función no es uno a uno. También es no. Por si $b\gt 1$ es impar, no es $n$ tal que $\varphi(n)=b$.

Comentario: Una bastante reciente resultado de Ford muestra que para cualquier entero $k\ge 2$, hay un número de $b_k$ tal que $\varphi(x)=b_k$ tiene exactamente $k$ soluciones.

No se sabe si hay alguna $b$ tal que $\varphi(n)=b$ tiene exactamente $1$ solución. Por favor, consulte Carmichael de la Conjetura para más detalles.

Por lo que el $\varphi$-la función es bastante espectacular no es invertible.