¿Cuál es la serie de convergencia de $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n^{3n}} $

Question

Estoy pegado con este ejemplo:

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n^{3n}} $$

Im probar esta usando el principio de d'alembert

Por lo que tengo

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{(3(n+1))!}{(n+1)^{3(n+1)}}}{\frac{(3n)!}{n^{3n}}} $$

Así que después de algunos cálculos puedo conseguir

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{(3n)!(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n^{3n})}{(3n)!(n+1)^{3(n+1)}} $$

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n^{3n})}{(n+1)^{3n+3}} $$

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n^{3n})}{n^{3n+3}+1} $$

Y no sé cómo cortar las potencias $n^{3n}$

$$ \frac {n^{3n}}{ n^{3n} * n^3 +1} $$

Estaré muy agradecido por toda la ayuda y explicación. Espero que puse el nombre de este problema corectly en inglés causa no es mi lengua madre.

Answer 1

La relación se simplifica a $$ \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3} \cdot \left(\frac{n}{n+1} \right)^{3n} $$ Ahora el primer factor que va a $3^3 = 27$. Para el segundo factor de utilizar el conocido límite de $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n} \right)^n = e$. Por lo tanto, todo el límite es de $\frac{27}{e^3} > 1$, y la serie es por lo tanto divergentes.

Answer 2

La sustitución de $3n=k$ y usando la aproximación de Stirling nota que $$ \frac{k!}{(\frac {k}{3})^k} \sim_{+\infty} \frac {\sqrt{2\pi k} (\frac {k}{e})^k}{(\frac {k}{3})^k}= \sqrt{2\pi k}(\frac {3}{e})^k$$ but the series $$\sum_{k\ge 1} \sqrt{2\pi k}(\frac {3}{e})^k$$ diverge