¿Por qué se demuestran teoremas como el Teorema de la Categoría Baire para $C([0,1])$ y no espacios más generales?

Question

En el análisis veo que la demostración del Teorema de la Categoría de Baire se demuestra para el conjunto de todas las funciones continuas sobre $[0,1]$ , $C([0,1])$ . Sin embargo, me preguntaba si la BCT también sería válida para el conjunto de funciones continuas $C: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ también. ¿Es más sencillo demostrar resultados para $C([0,1])$ o sólo se mantiene en la cartografía $C: [0,1] \to \mathbb{R}$ ? Gracias.

Answer 1

El teorema de la categoría Baire descrito en Wolfram Alpha no se limita a $C[0,1]$ . Una prueba del teorema tal y como lo describe Wolfram Alpha se encuentra, por ejemplo, en Rudin Análisis funcional 2.2, y sin duda en muchos otros lugares. Los supuestos son simplemente (a) un espacio métrico completo o (b) un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para cualquiera de esos espacios, la intersección de una colección densa contable de subconjuntos abiertos es densa.

Así pues, parece que su opinión de que el Teorema de la Categoría de Baire se limita de algún modo a $C[0,1]$ es incorrecto.

Answer 2

El teorema de la categoría Baire puede demostrarse para

• Espacio métrico completo

• Espacio de Hausdorff localmente compacto

• Espacio regular localmente contablemente compacto

...y todos ellos utilizan prácticamente la misma prueba.

¿Por qué un libro lo prueba sólo para $C([0,1])$ ? La única razón que se me ocurre es que este libro sólo lo utiliza en ese caso. Quizá el autor no da por sentado que sus lectores saben lo que es un "espacio métrico completo". Pero estas son sólo mis conjeturas sobre la razón.